Ecuaciones matriciales y parámetros

**a) Calcular el valor $x$ para que se cumpla: $A + B + C^2 = 3 \cdot I_2$, donde $I_2$ es la matriz identidad de orden 2 (1 punto)** En primer lugar, calculamos la matriz $C^2$ multiplicando la matriz $C$ por sí misma: $$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(-1) & (0)(-1)+(-1)(2) \\ (-1)(0)+(2)(-1) & (-1)(-1)+(2)(2) \end{pmatrix}$$ $$C^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$ Ahora planteamos la suma $A + B + C^2$: $$A + B + C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & x \\ x - 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$ Sumamos los elementos posición a posición: $$A + B + C^2 = \begin{pmatrix} 1+1+1 & 0+x-2 \\ 1+x-1-2 & -1-1+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & x-2 \\ x-2 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace 'fila por columna' y para sumar matrices estas deben tener la misma dimensión y se suman sus elementos homólogos.

Igualamos el resultado obtenido a la matriz $3 \cdot I_2$: $$3 \cdot I_2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Por tanto: $$\begin{pmatrix} 3 & x-2 \\ x-2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos deben ser iguales. Obtenemos el sistema: $$\begin{cases} 3 = 3 \\ x - 2 = 0 \\ x - 2 = 0 \\ 3 = 3 \end{cases} \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2}$$

**b) Calcular la matriz $X$ solución de la ecuación matricial: $A \cdot X + C^2 = 3 \cdot I_2$ (1,5 puntos)** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$A \cdot X = 3 \cdot I_2 - C^2$$ Si existe la inversa de $A$ ($A^{-1}$), podemos multiplicar por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (3 \cdot I_2 - C^2)$$ $$I_2 \cdot X = A^{-1} \cdot (3 \cdot I_2 - C^2)$$ $$X = A^{-1} \cdot (3 \cdot I_2 - C^2)$$ Calculamos la matriz del lado derecho del igual (llamémosla $D$): $$D = 3 \cdot I_2 - C^2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicamos por la inversa por la izquierda en un lado, debemos hacerlo por la izquierda en el otro.

Para calcular $A^{-1}$, primero comprobamos si su determinante es distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (1)(0) = -1 \neq 0$$ Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ es regular y **tiene inversa**. Calculamos la matriz adjunta $\text{adj}(A)$: $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta: $$(\text{adj}(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj}(A))^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Curiosamente, en este caso $A^{-1} = A$. Esto sucede en matrices denominadas involutivas.

Sustituimos los valores en la expresión de $X$: $$X = A^{-1} \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos las matrices: $$X = \begin{pmatrix} (1)(2) + (0)(2) & (1)(2) + (0)(-2) \\ (1)(2) + (-1)(2) & (1)(2) + (-1)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}}$$