Resolución de integrales definidas e indefinidas

**a) $\int_{1/2}^{e/2} \frac{(\ln 2x)^2}{3x} dx$ (1,25 puntos)** Observamos que la integral es una integral definida. El integrando se puede reescribir para identificar una estructura de función elevada a una potencia por su derivada. Extraemos la constante $\frac{1}{3}$ fuera de la integral: $$I = \frac{1}{3} \int_{1/2}^{e/2} (\ln 2x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{f(x)}$. En este caso, la derivada de $\ln(2x)$ es $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. Esto nos permite ver que la integral es del tipo casi-inmediata: $\int [f(x)]^n f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}$.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (\ln 2x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{(\ln 2x)^3}{3}$$ Por tanto, integrando con el coeficiente $\frac{1}{3}$ que habíamos extraído: $$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{(\ln 2x)^3}{3} \right]_{1/2}^{e/2} = \left[ \frac{(\ln 2x)^3}{9} \right]_{1/2}^{e/2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites superior e inferior: - Para $x = \frac{e}{2}$: $\frac{(\ln(2 \cdot \frac{e}{2}))^3}{9} = \frac{(\ln e)^3}{9} = \frac{1^3}{9} = \frac{1}{9}$ - Para $x = \frac{1}{2}$: $\frac{(\ln(2 \cdot \frac{1}{2}))^3}{9} = \frac{(\ln 1)^3}{9} = \frac{0^3}{9} = 0$ Restamos los valores: $$I = \frac{1}{9} - 0 = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{\frac{1}{9}}$$

**b) $\int \frac{3x^4+5x^2+\sqrt{x}}{x^2} dx$ (1,25 puntos)** Para resolver esta integral indefinida, simplificamos la expresión dividiendo cada término del numerador por el denominador $x^2$: $$\int \left( \frac{3x^4}{x^2} + \frac{5x^2}{x^2} + \frac{\sqrt{x}}{x^2} \right) dx$$ Operamos con las potencias de $x$: - $\frac{3x^4}{x^2} = 3x^2$ - $\frac{5x^2}{x^2} = 5$ - $\frac{\sqrt{x}}{x^2} = \frac{x^{1/2}}{x^2} = x^{1/2-2} = x^{-3/2}$ 💡 **Tip:** Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes: $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$. La integral queda expresada como una suma de integrales inmediatas: $$\int (3x^2 + 5 + x^{-3/2}) dx$$

Aplicamos la linealidad de la integral e integramos término a término: 1. $\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$ 2. $\int 5 dx = 5x$ 3. $\int x^{-3/2} dx = \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{x}}$ Sumamos los resultados y añadimos la constante de integración $C$: $$x^3 + 5x - \frac{2}{\sqrt{x}} + C$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{x^3 + 5x - \frac{2}{\sqrt{x}} + C}$$