Cálculo de parámetros de una función cúbica mediante recta tangente

**1. Calcular el valor de los parámetros $c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x^3 - x^2 + cx + d$, tiene como recta tangente en el punto $P(1,-2)$ la recta de ecuación $y = 5x - 7$ (2,5 puntos)** Para resolver este problema, debemos extraer dos condiciones fundamentales a partir de la recta tangente en un punto dado: 1. **El punto de tangencia pertenece a la curva:** Dado que la recta es tangente en $P(1,-2)$, la función debe pasar por ese punto. Por tanto: $$f(1) = -2$$ 2. **La pendiente de la recta tangente es la derivada:** La pendiente de la recta $y = 5x - 7$ es $m = 5$. Según la interpretación geométrica de la derivada, el valor de $f'(x)$ en el punto de tangencia debe coincidir con dicha pendiente. Por tanto: $$f'(1) = 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta tiene la forma $y = mx + n$, su pendiente es $m$. La ecuación de la recta tangente en $x = a$ tiene siempre pendiente $f'(a)$.

Primero, calculamos la derivada genérica de la función $f(x) = 2x^3 - x^2 + cx + d$: $$f'(x) = 6x^2 - 2x + c$$ Utilizamos la condición de la pendiente en el punto $x = 1$, que sabemos que debe ser $5$: $$f'(1) = 5 \implies 6(1)^2 - 2(1) + c = 5$$ Operamos para despejar $c$: $$6 - 2 + c = 5$$ $$4 + c = 5$$ $$c = 5 - 4$$ $$\boxed{c = 1}$$ ✅ **Valor de $c$ hallado:** **$c = 1$**

Ahora utilizamos la primera condición: la función pasa por $P(1, -2)$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión original de la función (ya conocemos que $c = 1$): $$f(x) = 2x^3 - x^2 + 1x + d$$ Imponemos $f(1) = -2$: $$2(1)^3 - (1)^2 + 1(1) + d = -2$$ Calculamos los términos numéricos: $$2 - 1 + 1 + d = -2$$ $$2 + d = -2$$ Despejamos $d$: $$d = -2 - 2$$ $$\boxed{d = -4}$$ ✅ **Valor de $d$ hallado:** **$d = -4$**

Los valores de los parámetros que cumplen las condiciones del enunciado son **$c = 1$** y **$d = -4$**. La función resultante es: $$\boxed{f(x) = 2x^3 - x^2 + x - 4}$$ Podemos verificar que, efectivamente, la recta tangente en $(1, -2)$ es $y = 5x - 7$.