Paralelismo e Intersección entre Recta y Plano

**a) Calcular el valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$ (1,25 puntos)** Para estudiar la posición relativa entre una recta y un plano, necesitamos sus vectores característicos. La recta $r$ viene dada en su forma continua. Podemos reescribirla para identificar su vector director $\vec{v}_r$: $$r: \frac{x-0}{1} = \frac{y-(-1)}{1} = \frac{z-\frac{11}{m}}{-\frac{3}{m}}$$ El vector director de $r$ es: $$\vec{v}_r = \left(1, 1, -\frac{3}{m}\right)$$ El plano $\pi$ viene dado por la ecuación implícita $2x+y+z=9$. Su vector normal es el formado por los coeficientes de las incógnitas: $$\vec{n}_\pi = (2, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que una recta sea paralela a un plano, el vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano. Matemáticamente, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ Operamos con los vectores obtenidos: $$\left(1, 1, -\frac{3}{m}\right) \cdot (2, 1, 1) = 0$$ $$1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + \left(-\frac{3}{m}\right) \cdot 1 = 0$$ $$2 + 1 - \frac{3}{m} = 0$$ $$3 - \frac{3}{m} = 0 \implies 3 = \frac{3}{m} \implies m = 1$$ Debemos comprobar que la recta no esté contenida en el plano. Para $m=1$, un punto de la recta es $P_r(0, -1, 11)$. Sustituimos en el plano: $$2(0) + (-1) + 11 = 10 \neq 9$$ Como el punto no pertenece al plano, la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m=1}$$

**b) Para $m=2$, determinar el punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ (1,25 puntos)** Si $m=2$, la recta $r$ queda: $$r: x = y+1 = \frac{z - \frac{11}{2}}{-\frac{3}{2}}$$ Para hallar el punto de intersección, lo más sencillo es expresar la recta en **ecuaciones paramétricas**. Usamos un parámetro $\lambda$: $$x = \lambda$$ $$y+1 = \lambda \implies y = \lambda - 1$$ $$\frac{z - 5,5}{-1,5} = \lambda \implies z = 5,5 - 1,5\lambda$$ O de forma más cómoda con fracciones: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = \frac{11}{2} - \frac{3}{2}\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al pasar de continua a paramétrica, igualamos cada término a $\lambda$ y despejamos $x, y, z$.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ en la ecuación del plano $\pi: 2x+y+z=9$: $$2(\lambda) + (-1 + \lambda) + \left(\frac{11}{2} - \frac{3}{2}\lambda\right) = 9$$ Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar denominadores: $$4\lambda - 2 + 2\lambda + 11 - 3\lambda = 18$$ Agrupamos términos en $\lambda$ y constantes: $$(4+2-3)\lambda + 9 = 18$$ $$3\lambda = 18 - 9$$ $$3\lambda = 9 \implies \lambda = 3$$ Ahora, calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo $\lambda = 3$ en las paramétricas de $r$: $$x = 3$$ $$y = -1 + 3 = 2$$ $$z = \frac{11}{2} - \frac{3}{2}(3) = \frac{11}{2} - \frac{9}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene verificar que el punto obtenido cumple la ecuación del plano: $2(3) + 2 + 1 = 6+2+1=9$. ¡Correcto! ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(3, 2, 1)}$$