Resolución de una ecuación matricial

Para resolver la ecuación matricial $A^{-1}XA=B$, debemos aislar la matriz $X$. A diferencia del álgebra con números reales, en el álgebra matricial el orden de los factores importa (no se cumple la propiedad conmutativa). Partimos de: $$A^{-1}XA = B$$ Multiplicamos por la izquierda por la matriz $A$ en ambos miembros: $$A \cdot (A^{-1}XA) = A \cdot B$$ $$(A \cdot A^{-1})XA = AB$$ $$I \cdot XA = AB \implies XA = AB$$ Ahora, multiplicamos por la derecha por la matriz $A^{-1}$ en ambos miembros: $$(XA) \cdot A^{-1} = (AB) \cdot A^{-1}$$ $$X(A \cdot A^{-1}) = ABA^{-1}$$ $$XI = ABA^{-1} \implies X = ABA^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A \cdot A^{-1} = I$ (matriz identidad) y que al multiplicar una matriz por la identidad, la matriz no varía ($X \cdot I = X$). $$\boxed{X = ABA^{-1}}$$

Para poder calcular $X$, primero necesitamos hallar la inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$. 1. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (3)(-1) - (1)(-2) = -3 + 2 = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 2. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $Adj_{11} = +(-1) = -1$ - $Adj_{12} = -(-2) = 2$ - $Adj_{21} = -(1) = -1$ - $Adj_{22} = +(3) = 3$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^t$: $$[Adj(A)]^t = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa se calcula como la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. No olvides cambiar los signos correspondientes en los adjuntos. $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el producto de las matrices $A$ y $B$ para simplificar la expresión $X = (AB)A^{-1}$: $$AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Elemento (1,1): $(3)(1) + (1)(2) = 3 + 2 = 5$ - Elemento (1,2): $(3)(-1) + (1)(1) = -3 + 1 = -2$ - Elemento (2,1): $(-2)(1) + (-1)(2) = -2 - 2 = -4$ - Elemento (2,2): $(-2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 1 = 1$ $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = (AB)A^{-1}$ multiplicando el resultado anterior por la matriz inversa calculada en el paso 2: $$X = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación: - Elemento (1,1): $(5)(1) + (-2)(-2) = 5 + 4 = 9$ - Elemento (1,2): $(5)(1) + (-2)(-3) = 5 + 6 = 11$ - Elemento (2,1): $(-4)(1) + (1)(-2) = -4 - 2 = -6$ - Elemento (2,2): $(-4)(1) + (1)(-3) = -4 - 3 = -7$ 💡 **Tip:** Para comprobar el resultado, podrías verificar que $A^{-1}XA$ da efectivamente la matriz $B$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 9 & 11 \\ -6 & -7 \end{pmatrix}}$$