Optimización de la superficie de un smartphone

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las variables que representan las dimensiones de la pantalla LCD: - Sea $x$ la anchura de la pantalla LCD (en $\text{cm}$). - Sea $y$ la altura de la pantalla LCD (en $\text{cm}$). El enunciado nos indica que el área de esta pantalla es de $18 \text{ cm}^2$, por lo que tenemos la siguiente **ecuación de ligadura**: $$x \cdot y = 18 \implies y = \frac{18}{x}$$ Ahora calculamos las dimensiones totales del smartphone, sumando los bordes indicados: - **Anchura total ($W$):** $x + 1 + 1 = x + 2$ - **Altura total ($H$):** $y + 2 + 2 = y + 4$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con geometría, siempre es útil dibujar un esquema para identificar qué dimensiones se suman a la parte central.

Queremos minimizar la superficie total del teléfono ($S$). La superficie es el producto de la anchura total por la altura total: $$S = (x + 2) \cdot (y + 4)$$ Sustituimos $y = \frac{18}{x}$ para obtener la función en términos de una sola variable, $S(x)$: $$S(x) = (x + 2) \left( \frac{18}{x} + 4 \right)$$ Multiplicamos los términos para simplificar la expresión: $$S(x) = x \cdot \frac{18}{x} + 4x + 2 \cdot \frac{18}{x} + 8$$ $$S(x) = 18 + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$S(x) = 4x + \frac{36}{x} + 26$$ El dominio de nuestra función, dado que $x$ representa una longitud física, es $x \in (0, +\infty)$. $$\boxed{S(x) = 4x + \frac{36}{x} + 26}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada de $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = 4 - \frac{36}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los valores extremos: $$4 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies 4 = \frac{36}{x^2} \implies x^2 = \frac{36}{4} = 9$$ Esto nos da dos soluciones posibles, $x = 3$ y $x = -3$. Puesto que $x$ debe ser positivo: $$x = 3 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$. Aquí, la derivada de $\frac{36}{x}$ es $-\frac{36}{x^2}$.

Para asegurar que $x = 3$ corresponde a un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada. Calculamos $S''(x)$: $$S'(x) = 4 - 36x^{-2}$$ $$S''(x) = 0 - 36 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = \frac{72}{x^3}$$ Evaluamos en el punto crítico $x = 3$: $$S''(3) = \frac{72}{3^3} = \frac{72}{27} > 0$$ Como $S''(3) > 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 3$. También podemos analizar el signo de la derivada en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline S'(x) & - & 0 & +\\ S(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, la función es convexa y el punto es un mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$ que minimiza la superficie, calculamos las dimensiones del smartphone: 1. **Dimensiones de la pantalla LCD:** - Anchura: $x = 3 \text{ cm}$ - Altura: $y = \frac{18}{3} = 6 \text{ cm}$ 2. **Dimensiones del smartphone:** - **Anchura total:** $W = x + 2 = 3 + 2 = 5 \text{ cm}$ - **Altura total:** $H = y + 4 = 6 + 4 = 10 \text{ cm}$ La superficie mínima será $S(3) = 5 \cdot 10 = 50 \text{ cm}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 5 \text{ cm de ancho y } 10 \text{ cm de alto}}$$