Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2\cos x}{\text{sen}(x^2)}$ (1,25 puntos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2\cos x}{\text{sen}(x^2)} = \frac{e^0 + e^{-0} - 2\cos(0)}{\text{sen}(0^2)} = \frac{1 + 1 - 2(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$**. Como las funciones del numerador y denominador son derivables en un entorno de $0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $0/0$ o $\infty/\infty$ derivando el numerador y el denominador por separado: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $(e^x + e^{-x} - 2\cos x)' = e^x - e^{-x} + 2\text{sen}x$ - Denominador: $(\text{sen}(x^2))' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2\cos x}{\text{sen}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} + 2\text{sen}x}{2x\cos(x^2)}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{e^0 - e^0 + 2\text{sen}(0)}{2(0)\cos(0)} = \frac{1 - 1 + 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que debemos aplicar la regla de L'Hôpital por **segunda vez**.

Derivamos de nuevo: - Numerador: $(e^x - e^{-x} + 2\text{sen}x)' = e^x + e^{-x} + 2\cos x$ - Denominador: $(2x\cos(x^2))' = 2\cos(x^2) + 2x(-\text{sen}(x^2) \cdot 2x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\text{sen}(x^2)$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} + 2\text{sen}x}{2x\cos(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} + 2\cos x}{2\cos(x^2) - 4x^2\text{sen}(x^2)}$$ Sustituimos $x = 0$: $$\frac{e^0 + e^0 + 2\cos(0)}{2\cos(0) - 4(0)^2\text{sen}(0)} = \frac{1 + 1 + 2(1)}{2(1) - 0} = \frac{4}{2} = 2$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f1", "latex": "f(x) = \\frac{e^x+e^{-x}-2\\cos x}{\\sin(x^2)}", "color": "#2563eb" }, { "id": "p1", "latex": "(0, 2)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Límite = 2" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2-\frac{x}{4}}{x^2}$ (1,25 puntos)** Evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2-\frac{x}{4}}{x^2} = \frac{\sqrt{4+0}-2-\frac{0}{4}}{0^2} = \frac{2-2-0}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación $\frac{0}{0}$**. Aplicaremos la regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una raíz es $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. En este caso, $(\sqrt{4+x})' = \frac{1}{2\sqrt{4+x}}$.

Derivamos numerador y denominador: - Numerador: $(\sqrt{4+x}-2-\frac{x}{4})' = \frac{1}{2\sqrt{4+x}} - 0 - \frac{1}{4} = \frac{1}{2\sqrt{4+x}} - \frac{1}{4}$ - Denominador: $(x^2)' = 2x$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2-\frac{x}{4}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{4+x}} - \frac{1}{4}}{2x}$$ Evaluamos en $x = 0$: $$\frac{\frac{1}{2\sqrt{4}} - \frac{1}{4}}{2(0)} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}{0} = \frac{0}{0}$$ Debemos aplicar la regla de L'Hôpital una vez más.

Para facilitar la derivada, escribimos $\frac{1}{2\sqrt{4+x}}$ como $\frac{1}{2}(4+x)^{-1/2}$. Derivamos de nuevo: - Numerador: $\left[\frac{1}{2}(4+x)^{-1/2} - \frac{1}{4}\right]' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)(4+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(4+x)^3}}$ - Denominador: $(2x)' = 2$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{4+x}} - \frac{1}{4}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{4\sqrt{(4+x)^3}}}{2} = \frac{-\frac{1}{4\sqrt{(4+0)^3}}}{2}$$ Operamos el resultado: $$\frac{-\frac{1}{4\sqrt{4^3}}}{2} = \frac{-\frac{1}{4 \cdot 8}}{2} = \frac{-\frac{1}{32}}{2} = -\frac{1}{64}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{-\frac{1}{64}}$$