Geometría: Recta en forma continua y plano perpendicular

**a) Escribir la ecuación de la recta $r$ en forma continua. (1,25 puntos)** Para expresar la recta en forma continua, necesitamos un punto $A$ perteneciente a la recta y su vector director $\vec{v}_r$. La recta viene dada como intersección de dos planos, por lo que su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos. Los vectores normales son $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, 1, 0)$. Calculamos $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{v}_r = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(0 - 2) + \vec{k}(1 - (-2)) = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (-1, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Para hallar un punto $A(x, y, z)$ de la recta $r$, asignamos un valor arbitrario a una de las variables en el sistema de ecuaciones: $$r : \begin{cases} x-y+z=3 \\ 2x+y=1 \end{cases}$$ Si hacemos $x = 0$: 1. De la segunda ecuación: $2(0) + y = 1 \implies y = 1$. 2. Sustituimos en la primera: $0 - 1 + z = 3 \implies z = 4$. Por lo tanto, un punto de la recta es $A(0, 1, 4)$. 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier valor para $x$, $y$ o $z$ que facilite los cálculos, siempre que el sistema resultante tenga solución.

Con el punto $A(0, 1, 4)$ y el vector director $\vec{v}_r = (-1, 2, 3)$, la ecuación continua de la recta tiene la forma: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{x - 0}{-1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{3}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{r : \frac{x}{-1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{3}}$$

**b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $P(1,2,1)$, es paralelo a la recta $r$ y perpendicular al plano $\pi$. (1,25 puntos)** Sea $\pi'$ el plano que buscamos. Si $\pi'$ es paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$, su vector normal $\vec{n}_{\pi'}$ debe ser perpendicular simultáneamente al vector director de la recta $\vec{v}_r = (-1, 2, 3)$ y al vector normal del plano $\pi$, que es $\vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$. Calculamos $\vec{n}_{\pi'}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por adjuntos: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{i}(-2 - 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 4) = -5\vec{i} + 5\vec{j} - 5\vec{k}$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (-5, 5, -5)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, 1)$. 💡 **Tip:** Cualquier vector paralelo al normal sirve para definir la orientación del plano. Dividir por $-5$ simplifica la ecuación final.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal $\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, 1)$, tenemos: $$x - y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(1, 2, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1 - 2 + 1 + D = 0 \implies 0 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano es $x - y + z = 0$. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{x - y + z = 0}$$