Sistema de ecuaciones matriciales

Para resolver el sistema, primero necesitamos conocer el valor de la matriz $M^{-1}$. Una matriz cuadrada $M$ tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = (0 \cdot 7) - (1 \cdot 1) = -1.$$ Como $|M| \neq 0$, calculamos $M^{-1}$ usando la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} (\text{Adj}(M))^T$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 2. Transpuesta de la adjunta: $$(\text{Adj}(M))^T = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 3. Matriz inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante. $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Tenemos el sistema: $$\begin{cases} (1) \quad 2X + 3Y = M \\ (2) \quad 3X - 2Y = M^{-1} \end{cases}$$ Para eliminar la variable $Y$, multiplicamos la ecuación (1) por $2$ y la ecuación (2) por $3$: $$\begin{cases} 4X + 6Y = 2M \\ 9X - 6Y = 3M^{-1} \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(4X + 9X) + (6Y - 6Y) = 2M + 3M^{-1}$$ $$13X = 2M + 3M^{-1} \implies X = \frac{1}{13}(2M + 3M^{-1}).$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con ecuaciones matriciales, tratamos a $X$ e $Y$ como incógnitas siguiendo las reglas del álgebra lineal (la suma es conmutativa, pero cuidado con el orden en los productos de matrices).

Calculamos $2M + 3M^{-1}$: $$2M = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 14 \end{pmatrix}$$ $$3M^{-1} = 3 \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ Sumamos los resultados: $$2M + 3M^{-1} = \begin{pmatrix} 0-21 & 2+3 \\ 2+3 & 14+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 5 \\ 5 & 14 \end{pmatrix}.$$ Finalmente, despejamos $X$: $$X = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} -21 & 5 \\ 5 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21/13 & 5/13 \\ 5/13 & 14/13 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado para $X$:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\frac{21}{13} & \frac{5}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{14}{13} \end{pmatrix}}$$

Para obtener $Y$, podemos usar de nuevo el método de reducción. Multiplicamos la ecuación (1) por $3$ y la ecuación (2) por $-2$: $$\begin{cases} 6X + 9Y = 3M \\ -6X + 4Y = -2M^{-1} \end{cases}$$ Sumamos las ecuaciones: $$13Y = 3M - 2M^{-1} \implies Y = \frac{1}{13}(3M - 2M^{-1}).$$ Calculamos las operaciones: $$3M = 3 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 21 \end{pmatrix}$$ $$2M^{-1} = 2 \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Restamos: $$3M - 2M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 - (-14) & 3 - 2 \\ 3 - 2 & 21 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 1 \\ 1 & 21 \end{pmatrix}.$$ Finalmente: $$Y = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 14 & 1 \\ 1 & 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14/13 & 1/13 \\ 1/13 & 21/13 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado para $Y$:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} \frac{14}{13} & \frac{1}{13} \\ \frac{1}{13} & \frac{21}{13} \end{pmatrix}}$$