Cálculo de área entre una función cúbica y una recta

Para hallar el área de la región encerrada entre dos curvas, el primer paso es encontrar los puntos donde se intersecan, igualando ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 + 1 = x + 1$$ Restamos 1 en ambos lados y pasamos todos los términos a un miembro para resolver la ecuación polinómica: $$x^3 - x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 1) = 0$$ Esto nos da tres soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ y $x = -1$ Los puntos de corte son **$x = -1$**, **$x = 0$** y **$x = 1$**. Estos valores dividirán nuestra región en dos recintos de integración. 💡 **Tip:** Los puntos de corte determinan los límites de las integrales definidas que necesitaremos calcular.

Observando los intervalos definidos por los puntos de corte, debemos determinar qué función queda por encima en cada tramo para calcular el área como la integral de la función superior menos la inferior. - **Intervalo $[-1, 0]$**: Probamos un valor intermedio, por ejemplo $x = -0.5$. $f(-0.5) = (-0.5)^3 + 1 = -0.125 + 1 = 0.875$ $g(-0.5) = -0.5 + 1 = 0.5$ Como $f(x) \gt g(x)$, el área en este tramo es $A_1 = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx$. - **Intervalo $[0, 1]$**: Probamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 0.5$. $f(0.5) = (0.5)^3 + 1 = 0.125 + 1 = 1.125$ $g(0.5) = 0.5 + 1 = 1.5$ Como $g(x) \gt f(x)$, el área en este tramo es $A_2 = \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx$. El área total será la suma de ambas: $A = A_1 + A_2$. $$\boxed{A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx}$$

Calculamos la integral para el intervalo $[-1, 0]$ aplicando la regla de Barrow paso a paso: $$A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0}$$ Sustituimos los límites: $$A_1 = \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right)$$ $$A_1 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al calcular la integral de $(f-g)$ obtienes un valor negativo, significa que $g$ estaba por encima de $f$ en ese intervalo.

Calculamos la integral para el intervalo $[0, 1]$: $$A_2 = \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los límites: $$A_2 = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$A_2 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas para obtener el resultado final: $$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 0.5 \text{ unidades cuadradas}}$$