Continuidad y derivabilidad de una función a trozos

Para que una función sea derivable en todo $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo $\mathbb{R}$. Analizamos las ramas de la función: - Para $x < 2$, $f(x) = x^2+4x+a$ es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en $(-\infty, 2)$. - Para $x > 2$, $f(x) = -x^2+bx$ es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en $(2, +\infty)$. El único punto donde debemos estudiar la continuidad y la derivabilidad es en el punto de salto entre ramas, $x = 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad. Si una función no es continua en un punto, no puede ser derivable en dicho punto.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} (x^2+4x+a) = 2^2 + 4(2) + a = 4 + 8 + a = 12 + a$$ - Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} (-x^2+bx) = -2^2 + b(2) = -4 + 2b$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$12 + a = -4 + 2b \implies a - 2b = -16 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ $$\boxed{a - 2b = -16}$$

Si suponemos que la función es continua, calculamos la derivada de la función en las ramas: $$f'(x)=\begin{cases} 2x+4 & \text{si } x < 2 \\ -2x+b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben coincidir: $$f'(2^-) = f'(2^+)$$ Calculamos las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $$f'(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (2x+4) = 2(2) + 4 = 8$$ - Derivada por la derecha: $$f'(2^+) = \lim_{x \to 2^+} (-2x+b) = -2(2) + b = -4 + b$$ Igualamos las derivadas laterales: $$8 = -4 + b \implies b = 12$$ 💡 **Tip:** No incluyas el signo igual en la derivada a trozos hasta que hayas comprobado que el valor de la derivada por la izquierda y por la derecha es el mismo. $$\boxed{b = 12}$$

Ahora que conocemos el valor de $b$, sustituimos en la **Ecuación 1** obtenida en el paso 2: $$a - 2(12) = -16$$ $$a - 24 = -16$$ $$a = -16 + 24 = 8$$ Por tanto, para que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$ (y por tanto continua), los valores deben ser: $$\boxed{a = 8, \quad b = 12}$$ Podemos escribir la función y su derivada resultantes: $$f(x)=\begin{cases} x^2+4x+8 & \text{si } x \le 2 \\ -x^2+12x & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ $$f'(x)=\begin{cases} 2x+4 & \text{si } x \le 2 \\ -2x+12 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$