Probabilidad condicionada y Distribución Normal

**a1) Que la segunda bola extraída sea blanca. (0,75 puntos)** Primero definimos los sucesos para las extracciones: - $B_1$: La primera bola extraída es blanca. - $R_1$: La primera bola extraída es roja. - $B_2$: La segunda bola extraída es blanca. - $R_2$: La segunda bola extraída es roja. La urna inicial tiene **3 blancas y 2 rojas** (5 bolas en total). Al ser extracciones **sin reemplazamiento**, la composición de la urna para la segunda extracción cambia según lo obtenido en la primera. Construimos el árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazamiento, recuerda que el número total de bolas disminuye en cada paso.

Para calcular $P(B_2)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La segunda bola puede ser blanca habiendo sido la primera blanca o habiendo sido la primera roja: $$P(B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) + P(R_1) \cdot P(B_2|R_1)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama: $$P(B_2) = \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \right)$$ $$P(B_2) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$ ✅ **Resultado (a1):** $$\boxed{P(B_2) = 0,6}$$

**a2) Si la segunda bola extraída ha sido blanca, que la primera fuera roja. (0,5 puntos)** Nos piden calcular $P(R_1|B_2)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(R_1|B_2) = \frac{P(R_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$$ Ya conocemos ambos valores: - $P(R_1 \cap B_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = 0,3$ - $P(B_2) = 0,6$ Operamos: $$P(R_1|B_2) = \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final y queremos saber qué ocurrió al principio. ✅ **Resultado (a2):** $$\boxed{P(R_1|B_2) = 0,5}$$

**b1) La probabilidad de que una llamada dure menos de 4,5 minutos. (0,75 puntos)** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de duración de las llamadas. Según el enunciado: $$X \sim N(\mu=5, \sigma^2=4)$$ Como la varianza es $\sigma^2=4$, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{4} = 2$. Así, $X \sim N(5, 2)$. Para calcular $P(X \lt 4,5)$, debemos **tipificar** la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \lt 4,5) = p\left( Z \lt \frac{4,5 - 5}{2} \right) = p(Z \lt -0,25)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$p(Z \lt -0,25) = p(Z \gt 0,25) = 1 - p(Z \le 0,25)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 0,25$ (fila 0,2 y columna 0,05): $$p(Z \le 0,25) = 0,5987$$ Finalmente: $$P(X \lt 4,5) = 1 - 0,5987 = 0,4013$$ ✅ **Resultado (b1):** $$\boxed{P(X \lt 4,5) = 0,4013}$$

**b2) El tiempo de duración que no es superado por el 33 % de las llamadas. (0,5 puntos)** Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de que la duración sea menor o igual a $k$ sea del 33 % ($0,33$): $$P(X \le k) = 0,33$$ Tipificamos: $$p\left( Z \le \frac{k - 5}{2} \right) = 0,33$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 5}{2}$. Como $0,33 \lt 0,5$, sabemos que $z_0$ debe ser negativo. Por simetría: $$p(Z \le z_0) = 0,33 \implies p(Z \ge -z_0) = 0,33 \implies 1 - p(Z \le -z_0) = 0,33$$ $$p(Z \le -z_0) = 1 - 0,33 = 0,67$$ Buscamos en la tabla el valor más cercano a $0,6700$: En la tabla observamos que para $z = 0,44$, la probabilidad es exactamente $0,6700$. Por lo tanto: $$-z_0 = 0,44 \implies z_0 = -0,44$$ Ahora despejamos $k$: $$\frac{k - 5}{2} = -0,44 \implies k - 5 = -0,88 \implies k = 5 - 0,88 = 4,12$$ 💡 **Tip:** Si el área a la izquierda es menor que 0,5, el valor tipificado $z$ siempre será negativo. ✅ **Resultado (b2):** $$\boxed{k = 4,12 \text{ minutos}}$$