Paralelismo entre plano y recta y distancia de un punto a una recta

**a) Halla razonadamente el valor de $a \in \mathbb{R}$ para el cual el plano $\alpha \equiv x - y - az + 5 = 0$ es paralelo a la recta $r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{2} \quad (1,25 puntos)** Para que un plano $\alpha$ y una recta $r$ sean paralelos, el vector normal del plano $\vec{n}_{\alpha}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero. Extraemos los vectores característicos: - Del plano $\alpha \equiv 1x - 1y - az + 5 = 0$, el vector normal es $\vec{n}_{\alpha} = (1, -1, -a)$. - De la recta $r$ en forma continua, el vector director son los denominadores: $\vec{v}_r = (3, -5, 2)$. 💡 **Tip:** Si el plano y la recta son paralelos, $\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{v}_r = 0$. Si además un punto de la recta pertenece al plano, la recta estaría contenida en él.

Aplicamos la condición de perpendicularidad de los vectores (producto escalar igual a cero): $$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{v}_r = (1, -1, -a) \cdot (3, -5, 2) = 0$$ Realizamos la operación: $$(1 \cdot 3) + (-1 \cdot (-5)) + (-a \cdot 2) = 0$$ $$3 + 5 - 2a = 0$$ $$8 - 2a = 0 \implies 2a = 8 \implies a = 4$$ Para asegurar que es paralelo y no está contenida, comprobamos un punto de $r$, por ejemplo $A(2, 0, 0)$. Sustituimos en $\alpha$ con $a=4$: $$2 - 0 - 4(0) + 5 = 7 \neq 0$$ Como el punto no pertenece al plano, la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 4}$$

**b) Calcula razonadamente la distancia del punto $P(1, 2, 3)$ a la recta $r \equiv \frac{x - 3}{2} = y - 1 = z$. (1,25 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{QP}|}{|\vec{v}_r|}$$ donde $Q$ es un punto cualquiera de la recta $r$ y $\vec{v}_r$ su vector director. De la ecuación de la recta $r \equiv \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 0}{1}$ obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (2, 1, 1)$. - Punto de la recta: $Q(3, 1, 0)$. Calculamos el vector $\vec{QP}$ (desde la recta al punto $P$): $$\vec{QP} = P - Q = (1 - 3, 2 - 1, 3 - 0) = (-2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** La distancia es la altura del paralelogramo formado por los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{QP}$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{QP}$ mediante el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{QP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$= \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}(3 - 1) - \vec{j}(6 - (-2)) + \vec{k}(2 - (-2))$$ $$= 2\vec{i} - 8\vec{j} + 4\vec{k}$$ El vector resultante es $(2, -8, 4)$.

Calculamos los módulos necesarios para la fórmula: 1. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \vec{QP}| = \sqrt{2^2 + (-8)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 64 + 16} = \sqrt{84}$$ Podemos simplificar: $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$. 2. Módulo del vector director: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{84}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{84}{6}} = \sqrt{14}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{14} \text{ unidades}}$$