Inversa de una matriz y resolución de ecuación matricial

**a) Calcula razonadamente $A^{-1}$. (1 punto)** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 0) - (0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 0 - 1 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero.

Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$, $Adj(A)$: $$\begin{aligned} A_{11} &= +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0, & A_{12} &= -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, & A_{13} &= +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{21} &= -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, & A_{22} &= +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0, & A_{23} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{31} &= +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, & A_{32} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, & A_{33} &= +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned}$$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcula razonadamente la matriz $X$ que verifica que $A \cdot X + B = C^2$. (1,5 puntos)** Primero aislamos el término que contiene a $X$: $$A \cdot X = C^2 - B$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos lados de la ecuación: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (C^2 - B)$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot (C^2 - B)$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot (C^2 - B)$$ $$X = A^{-1} \cdot (C^2 - B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación importa. Si $A$ está a la izquierda de $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda.

Calculamos $C^2 = C \cdot C$: $$C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos los productos fila por columna: - $c_{11} = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot(-1) = 1$ - $c_{12} = 1\cdot1 + 1\cdot3 + 0\cdot0 = 4$ - $c_{13} = 1\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0$ - $c_{21} = 0\cdot1 + 3\cdot0 + 0\cdot(-1) = 0$ - $c_{22} = 0\cdot1 + 3\cdot3 + 0\cdot0 = 9$ - $c_{23} = 0\cdot0 + 3\cdot0 + 0\cdot1 = 0$ - $c_{31} = (-1)\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot(-1) = -2$ - $c_{32} = (-1)\cdot1 + 0\cdot3 + 1\cdot0 = -1$ - $c_{33} = (-1)\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1$ $$C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos la resta $C^2 - B$: $$C^2 - B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & 10 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Por último, multiplicamos $A^{-1}$ por este resultado para obtener $X$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & 10 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Operamos: - $x_{11} = 0\cdot2 + 1\cdot0 + 0\cdot(-3) = 0$ - $x_{12} = 0\cdot4 + 1\cdot10 + 0\cdot(-2) = 10$ - $x_{13} = 0\cdot(-1) + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0$ - $x_{21} = 1\cdot2 + 0\cdot0 + (-1)\cdot(-3) = 2 + 3 = 5$ - $x_{22} = 1\cdot4 + 0\cdot10 + (-1)\cdot(-2) = 4 + 2 = 6$ - $x_{23} = 1\cdot(-1) + 0\cdot0 + (-1)\cdot1 = -1 - 1 = -2$ - $x_{31} = 0\cdot2 + 0\cdot0 + 1\cdot(-3) = -3$ - $x_{32} = 0\cdot4 + 0\cdot10 + 1\cdot(-2) = -2$ - $x_{33} = 0\cdot(-1) + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\ 5 & 6 & -2 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$$