Integrales indefinidas: racional e integración por partes

**a) $\int \frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} dx$** Observamos que el grado del numerador ($3$) es mayor que el grado del denominador ($2$). Por tanto, lo primero que debemos hacer es realizar la división polinómica para descomponer la fracción. Dividimos $x^3 + 2x^2 + x - 10$ entre $x^2 + x - 2$: - Multiplicamos el divisor por $x$: $x(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x$. Restamos: $(x^3 + 2x^2 + x - 10) - (x^3 + x^2 - 2x) = x^2 + 3x - 10$. - Multiplicamos el divisor por $1$: $1(x^2 + x - 2) = x^2 + x - 2$. Restamos: $(x^2 + 3x - 10) - (x^2 + x - 2) = 2x - 8$. Obtenemos el cociente $C(x) = x + 1$ y el resto $R(x) = 2x - 8$. Utilizamos la propiedad: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ $$\frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} = x + 1 + \frac{2x - 8}{x^2 + x - 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, debes empezar dividiendo los polinomios.

Ahora debemos descomponer la fracción racional propia $\frac{2x - 8}{x^2 + x - 2}$. Primero, hallamos las raíces del denominador: $$x^2 + x - 2 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. Por tanto, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{2x - 8}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Multiplicamos ambos lados por el denominador común: $$2x - 8 = A(x + 2) + B(x - 1)$$ Calculamos los coeficientes $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = 1$: $2(1) - 8 = A(1 + 2) \implies -6 = 3A \implies \mathbf{A = -2}$ - Si $x = -2$: $2(-2) - 8 = B(-2 - 1) \implies -12 = -3B \implies \mathbf{B = 4}$

Sustituimos la descomposición en la integral original: $$\int \left( x + 1 + \frac{-2}{x - 1} + \frac{4}{x + 2} \right) dx$$ Integramos cada término por separado: - $\int x dx = \frac{x^2}{2}$ - $\int 1 dx = x$ - $\int \frac{-2}{x - 1} dx = -2 \ln |x - 1|$ - $\int \frac{4}{x + 2} dx = 4 \ln |x + 2|$ Agrupando todo y añadiendo la constante de integración $C$: ✅ **Resultado Final a):** $$\boxed{\int \frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} dx = \frac{x^2}{2} + x - 2 \ln |x - 1| + 4 \ln |x + 2| + C}$$

**b) $\int x^2 \ln x dx$** Esta integral se resuelve por el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Usa la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$: (A)rcos, (L)ogaritmos, (P)olinomios, (E)xponenciales, (S)enos/Cosenos. Como tenemos un logaritmo, este será nuestra $u$. Elegimos las variables: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x^2 dx \implies v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x^2 \ln x dx = (\ln x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx$$ Simplificamos el término dentro de la integral: $$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$$ Resolvemos la última integral: $$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} \right) + C$$ $$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$$ ✅ **Resultado Final b):** $$\boxed{\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \frac{1}{3} \right) + C}$$