Optimización de las dimensiones de una piscina

**1B. Halla razonadamente las dimensiones más económicas de una piscina de $32\text{ m}^3$ con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y el suelo necesiten la cantidad mínima de material.** Sea una piscina con base cuadrada y sin tapa superior. Definimos las variables: - $x$: longitud del lado de la base cuadrada (en metros). - $h$: altura de la piscina (en metros). El enunciado nos da el volumen total de la piscina: $$V = x^2 \cdot h = 32\text{ m}^3$$ De esta relación (restricción), podemos despejar la altura $h$ en función de $x$: $$h = \frac{32}{x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la **función objetivo** (lo que quieres minimizar o maximizar) y la **restricción** (el dato fijo que relaciona las variables).

Queremos minimizar la cantidad de material, que corresponde a la superficie total de las paredes y el suelo. La superficie $S$ es la suma del área de la base y las cuatro paredes laterales: $$S(x, h) = \text{Área base} + 4 \cdot \text{Área pared} = x^2 + 4xh$$ Sustituimos $h = \dfrac{32}{x^2}$ en la expresión anterior para obtener una función que dependa solo de $x$: $$S(x) = x^2 + 4x \left( \frac{32}{x^2} \right) = x^2 + \frac{128}{x}$$ El dominio de esta función, dado el contexto físico, es $x \in (0, +\infty)$. $$\boxed{S(x) = x^2 + \frac{128}{x}}$$

Para encontrar el mínimo, derivamos la función $S(x)$ con respecto a $x$ e igualamos a cero: $$S'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 + 128x^{-1} \right) = 2x - 128x^{-2} = 2x - \frac{128}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$2x - \frac{128}{x^2} = 0 \implies 2x = \frac{128}{x^2} \implies 2x^3 = 128 \implies x^3 = 64$$ Calculamos la raíz cúbica: $$x = \sqrt[3]{64} = 4\text{ m}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $\frac{k}{x}$ es muy útil verlo como $k \cdot x^{-1}$, cuya derivada es $-k \cdot x^{-2}$.

Debemos comprobar que en $x = 4$ existe un mínimo relativo. Utilizaremos el criterio de la segunda derivada: $$S''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x - 128x^{-2} \right) = 2 - 128(-2)x^{-3} = 2 + \frac{256}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 4$: $$S''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$$ Como **$S''(4) > 0$**, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 4$. También podemos verificar el signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, +\infty)\\\hline S'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ La función decrece antes de $x=4$ y crece después, confirmando el mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$ que minimiza la superficie, calculamos la altura $h$ correspondiente: $$h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\text{ m}$$ Por tanto, las dimensiones de la piscina para que el gasto de material sea mínimo son: - Lado de la base cuadrada: **$4\text{ m}$** - Profundidad (altura): **$2\text{ m}$** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 4\text{ m}, \quad h = 2\text{ m}}$$