Probabilidad y Estadística 2017 Castilla la Mancha
Probabilidad Total, Bayes y Distribución Binomial
5A. a) En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicos en placas de circuito impreso. El 25 % de los componentes son soldados por el robot A, el 20 % por el B y el 55 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de 0,03 si ha sido soldado por el robot A, 0,04 por el robot B y 0,02 por el robot C.
a1) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura. (0,75 puntos)
a2) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C. (0,5 puntos)
b) Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es 0,6. Calcula razonadamente la probabilidad de:
b1) Obtener exactamente tres caras. (0,75 puntos)
b2) Obtener más de tres caras. (0,5 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a1) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura. (0,75 puntos)**
Primero, definimos los sucesos según el enunciado:
- $A$: La placa es soldada por el robot A.
- $B$: La placa es soldada por el robot B.
- $C$: La placa es soldada por el robot C.
- $D$: La placa tiene un defecto de soldadura.
- $\bar{D}$: La placa no tiene defectos.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(A) = 0,25$
- $P(B) = 0,20$
- $P(C) = 0,55$
- Probabilidades condicionadas: $P(D|A) = 0,03$; $P(D|B) = 0,04$; $P(D|C) = 0,02$.
Representamos la situación con un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la Probabilidad Total
Para calcular la probabilidad de que una placa tenga un defecto, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(D) = 0,25 \cdot 0,03 + 0,20 \cdot 0,04 + 0,55 \cdot 0,02$$
$$P(D) = 0,0075 + 0,008 + 0,011$$
$$P(D) = 0,0265$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas principales (A, B, C) debe ser siempre 1 ($0,25 + 0,20 + 0,55 = 1$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,0265}$$
(o lo que es lo mismo, un 2,65 %)
Paso 3
Cálculo de probabilidad a posteriori (Bayes)
**a2) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C. (0,5 puntos)**
Estamos ante una probabilidad condicionada donde conocemos el resultado final (tiene defecto). Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = \frac{P(C) \cdot P(D|C)}{P(D)}$$
Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(C|D) = \frac{0,55 \cdot 0,02}{0,0265} = \frac{0,011}{0,0265} \approx 0,4151$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "ir hacia atrás" en el árbol, calculando la probabilidad de la causa dado el efecto.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|D) \approx 0,4151}$$
Paso 4
Distribución Binomial: Probabilidad de exactamente tres caras
**b1) Obtener exactamente tres caras. (0,75 puntos)**
Se trata de un experimento de Bernoulli repetido $n=5$ veces de forma independiente. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de caras obtenidas".
$X$ sigue una **distribución binomial**: $X \sim B(n, p) = B(5, 0,6)$.
Para calcular $P(X=3)$, observamos que la tabla proporcionada solo llega hasta $p=0,50$. Por tanto, usaremos la propiedad de simetría o definiremos el suceso contrario (obtener 2 cruces con $q=0,4$).
Sea $Y$ el número de cruces, $Y \sim B(5, 0,4)$. Entonces $P(X=3) = P(Y=2)$.
Buscando en la tabla para $n=5, k=2, p=0,40$:
$$P(X=3) = 0,3456$$
También podemos calcularlo con la fórmula general:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$
$$P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^2 = 10 \cdot 0,216 \cdot 0,16 = 0,3456$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X=3) = 0,3456}$$
Paso 5
Probabilidad de obtener más de tres caras
**b2) Obtener más de tres caras. (0,5 puntos)**
Queremos calcular $P(X > 3)$. Esto incluye los casos $X=4$ y $X=5$:
$$P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5)$$
Utilizamos de nuevo la relación con la variable de cruces $Y \sim B(5, 0,4)$:
- $P(X=4) = P(Y=1)$
- $P(X=5) = P(Y=0)$
Consultamos los valores en la tabla para $n=5, p=0,40$:
- Para $k=1$: $P(Y=1) = 0,2592$
- Para $k=0$: $P(Y=0) = 0,0778$
Sumamos las probabilidades:
$$P(X > 3) = 0,2592 + 0,0778 = 0,3370$$
💡 **Tip:** Cuando $p > 0,5$ y no está en la tabla, intercambia los papeles de "éxito" y "fracaso". Obtener $k$ caras con probabilidad $p$ equivale a obtener $n-k$ cruces con probabilidad $1-p$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X > 3) = 0,3370}$$