Geometría en el espacio: volumen de un tetraedro y posiciones relativas

**a) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano $\alpha$ con los tres ejes coordenados. (1,5 puntos)** Primero, hallamos los puntos de intersección del plano $\alpha \equiv -x + 2y + z + 2 = 0$ con los ejes coordenados: * **Intersección con el eje $OX$ ($y=0, z=0$):** $$-x + 2(0) + (0) + 2 = 0 \implies -x = -2 \implies x = 2 \implies \mathbf{A(2, 0, 0)}$$ * **Intersección con el eje $OY$ ($x=0, z=0$):** $$-(0) + 2y + (0) + 2 = 0 \implies 2y = -2 \implies y = -1 \implies \mathbf{B(0, -1, 0)}$$ * **Intersección con el eje $OZ$ ($x=0, y=0$):** $$-(0) + 2(0) + z + 2 = 0 \implies z = -2 \implies \mathbf{C(0, 0, -2)}$$ El origen de coordenadas es $O(0, 0, 0)$.

El volumen de un tetraedro de vértices $O, A, B$ y $C$ viene dado por la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{OA} = (2, 0, 0)$$ $$\vec{OB} = (0, -1, 0)$$ $$\vec{OC} = (0, 0, -2)$$ Calculamos el producto mixto: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) \cdot (-2) = 4$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \frac{1}{6} \cdot |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres en los ejes $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ y $(0,0,c)$ se puede simplificar como $V = \frac{1}{6} |a \cdot b \cdot c|$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = \frac{2}{3} \text{ u}^3 \approx 0.67 \text{ u}^3}$$

**b) Encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos $\alpha$ y $\beta$ que pase por el punto $P(0, -1, 3)$. (1 punto)** Si una recta $r$ es paralela a dos planos $\alpha$ y $\beta$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos, $\vec{n_\alpha}$ y $\vec{n_\beta}$. Extraemos los vectores normales de las ecuaciones: $$\alpha \equiv -x + 2y + z + 2 = 0 \implies \vec{n_\alpha} = (-1, 2, 1)$$ $$\beta \equiv -2y + z = 0 \implies \vec{n_\beta} = (0, -2, 1)$$ El vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{v_r} = \vec{n_\alpha} \times \vec{n_\beta} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(2\cdot 1) + \vec{j}(1\cdot 0) + \vec{k}(-1\cdot(-2)) - [\vec{k}(2\cdot 0) + \vec{i}(1\cdot(-2)) + \vec{j}(-1\cdot 1)]$$ $$\vec{v_r} = 2\vec{i} + 2\vec{k} - [-2\vec{i} - \vec{j}] = 4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (4, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, su vector director es perpendicular al normal del plano. Por tanto, si es paralela a dos planos, su dirección es la del producto vectorial de los normales.

Conocemos un punto $P(0, -1, 3)$ y el vector director $\vec{v_r} = (4, 1, 2)$. Escribimos primero la recta en su forma continua: $$r \equiv \frac{x-0}{4} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{2}$$ Para obtener la ecuación implícita (o general), igualamos las fracciones de dos en dos: 1. De $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y+1}{1}$: $$x = 4(y+1) \implies x = 4y + 4 \implies x - 4y - 4 = 0$$ 2. De $\dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{2}$: $$2(y+1) = z-3 \implies 2y + 2 = z - 3 \implies 2y - z + 5 = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación implícita de una recta se expresa como la intersección de dos planos no paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x - 4y - 4 = 0 \\ 2y - z + 5 = 0 \end{cases}}$$