Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 0 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, primero calculamos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$, es compatible indeterminado; y si los rangos son distintos, es incompatible.

Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a^3 + 1 + 1 - (a + a + a) = a^3 - 3a + 2$$ Para hallar las raíces de la ecuación $a^3 - 3a + 2 = 0$, utilizamos la regla de Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & & 1 & 2 & \\ \hline & 1 & 2 & 0 & \end{array}$$ Las raíces son $a = 1$ (doble) y $a = -2$. Por tanto, el determinante se anula en estos puntos: $$\boxed{|A| = (a-1)^2(a+2)}$$

Analizamos los tres casos posibles: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** En este caso $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (nº incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene solución única. **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Claramente $\text{rg}(A) = 1$ (todas las filas son iguales). Sin embargo, al observar las columnas 1 y 4, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = -2$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, buscamos un menor de orden 2 en $A$: $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Calculamos un menor de orden 3 en $A^*$ usando la columna de términos constantes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 2) = 3 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Conclusión de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1, a \neq -2 \implies \text{SCD} \\ a = 1 \implies \text{SI} \\ a = -2 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 0$.** Si $a = 0$, estamos en el caso SCD. El sistema queda: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ De la segunda y tercera ecuación despejamos $y$ y $z$ en función de $x$: $$z = -x$$ $$y = -x$$ Sustituimos estos valores en la primera ecuación: $$(-x) + (-x) = 1 \implies -2x = 1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ Calculamos ahora $y$ y $z$: $$y = -x = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$ $$z = -x = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** En sistemas sencillos como este, el método de sustitución suele ser más rápido que la regla de Cramer. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1/2, \quad y = 1/2, \quad z = 1/2}$$