Continuidad con límites exponenciales y Teorema de Bolzano

**a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que la siguiente función sea continua en $x = 0$.** Para que una función sea continua en un punto $x=a$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(0)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x \to 0$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Analizamos la función en el punto $x=0$ usando sus ramas: - **Valor de la función:** Usamos la segunda rama ($x \geq 0$): $$f(0) = 6(0) + k = k.$$ - **Límite por la derecha:** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (6x + k) = k.$$ - **Límite por la izquierda:** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{x + 1}{2x + 1} \right)^{1/x}.$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si el "pegado" entre sus ramas no presenta saltos, es decir, si los límites laterales coinciden con el valor de la función.

Calculamos el límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} \left( \frac{x + 1}{2x + 1} \right)^{1/x} = \left( \frac{1}{1} \right)^{\infty} \to 1^{\infty}.$$ Estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Podemos resolverla mediante la fórmula: $e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} \left( \frac{x + 1}{2x + 1} - 1 \right) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} \left( \frac{x + 1 - (2x + 1)}{2x + 1} \right)$$ $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} \left( \frac{-x}{2x + 1} \right) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x(2x + 1)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{2x + 1} = \frac{-1}{1} = -1.$$ Por tanto, el límite es: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^{-1} = \frac{1}{e}.$$ 💡 **Tip:** Para límites de la forma $1^{\infty}$, también puedes usar la regla de L'Hôpital aplicando logaritmos naturales, pero la fórmula del número $e$ suele ser más directa.

Para que la función sea continua, igualamos el límite por la izquierda con el límite por la derecha (que coincide con $f(0)$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$$ $$\frac{1}{e} = k.$$ ✅ **Resultado (valor de k):** $$\boxed{k = \frac{1}{e}}$$

**b) Enuncia el teorema de Bolzano y comprueba si la ecuación $\cos x = 2 - x$ tiene alguna solución real en el intervalo $[0, 2\pi]$.** **Teorema de Bolzano:** Si una función $g(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo opuesto en los extremos de dicho intervalo ($g(a) \cdot g(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. 💡 **Tip:** Geométricamente, esto significa que si una curva continua pasa de estar por debajo del eje $X$ a estar por encima (o viceversa), necesariamente debe cortar al eje $X$ en algún punto.

Para comprobar si la ecuación $\cos x = 2 - x$ tiene solución, definimos una función auxiliar trasladando todos los términos a un miembro: $$g(x) = \cos x + x - 2.$$ La ecuación tiene solución si existe un $c$ tal que $g(c) = 0$. 1. **Continuidad:** $g(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (y por tanto en $[0, 2\pi]$) por ser suma de una función trigonométrica y una función polinómica, ambas continuas. 2. **Valores en los extremos:** - Para $x = 0$: $$g(0) = \cos(0) + 0 - 2 = 1 - 2 = -1 \lt 0.$$ - Para $x = 2\pi$: $$g(2\pi) = \cos(2\pi) + 2\pi - 2 = 1 + 2\pi - 2 = 2\pi - 1.$$ Como $\pi \approx 3,14$, entonces $2\pi - 1 \approx 5,28 \gt 0$. 3. **Conclusión:** Como $g(0) \lt 0$ y $g(2\pi) \gt 0$, por el Teorema de Bolzano, existe al menos un valor $c \in (0, 2\pi)$ tal que $g(c) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La ecuación tiene al menos una solución real en el intervalo } [0, 2\pi].}$$