Cálculo de áreas con integrales y recta tangente

**a) Calcula razonadamente el área de la región determinada por la curva $f(x) = (x - 1)(x + 2)$, las rectas $x = -3$, $x = 2$ y el eje de abscisas. Esboza dicha región.** Para calcular el área, primero debemos encontrar los puntos donde la función corta al eje de abscisas ($y = 0$) para ver si el intervalo de integración $[-3, 2]$ debe dividirse. Resolvemos $f(x) = 0$: $$(x - 1)(x + 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x - 1 = 0 \implies x = 1$ - $x + 2 = 0 \implies x = -2$ Como ambos valores, $x = -2$ y $x = 1$, pertenecen al intervalo $[-3, 2]$, el área total será la suma de las áreas de tres recintos delimitados por estos puntos: - Recinto 1: $[-3, -2]$ - Recinto 2: $[-2, 1]$ - Recinto 3: $[1, 2]$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva, por lo que usaremos el valor absoluto de las integrales definidas en cada intervalo donde la función no cambie de signo.

Expresamos la función de forma polinómica para integrar más fácilmente: $$f(x) = (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$$ Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$F(x) = \int (x^2 + x - 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C$$ Usaremos esta primitiva $F(x)$ para aplicar la Regla de Barrow en cada intervalo.

Calculamos el valor de la integral definida en cada uno de los tres intervalos: **1. Intervalo $[-3, -2]$:** $$I_1 = \int_{-3}^{-2} (x^2 + x - 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{-3}^{-2}$$ $$I_1 = \left( \frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} - 2(-2) \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 2(-3) \right)$$ $$I_1 = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( -9 + \frac{9}{2} + 6 \right) = \frac{10}{3} - \frac{3}{2} = \frac{20 - 9}{6} = \frac{11}{6}$$ **2. Intervalo $[-2, 1]$:** $$I_2 = \int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{-2}^{1}$$ $$I_2 = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( \frac{10}{3} \right) = -\frac{7}{6} - \frac{20}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}$$ **3. Intervalo $[1, 2]$:** $$I_3 = \int_{1}^{2} (x^2 + x - 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2}$$ $$I_3 = \left( \frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{2}{3} + \frac{7}{6} = \frac{4 + 7}{6} = \frac{11}{6}$$

El área total es la suma de los valores absolutos de las integrales obtenidas: $$Area = |I_1| + |I_2| + |I_3|$$ $$Area = \left| \frac{11}{6} \right| + \left| -\frac{9}{2} \right| + \left| \frac{11}{6} \right|$$ $$Area = \frac{11}{6} + \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{49}{6} \text{ unidades}^2$$ Calculando el valor decimal aproximado: $$Area \approx 8.167 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \frac{49}{6} \text{ u}^2}$$

Para el esbozo, representamos la parábola $f(x) = x^2 + x - 2$, que abre hacia arriba, tiene cortes en $x = -2$ y $x = 1$, y sombreamos el área entre las verticales $x = -3$ y $x = 2$.

**b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. **Calculamos la ordenada del punto $f(2)$:** $$f(2) = (2 - 1)(2 + 2) = 1 \cdot 4 = 4$$ El punto de tangencia es **$(2, 4)$**. 2. **Calculamos la pendiente $m = f'(2)$:** Derivamos $f(x) = x^2 + x - 2$: $$f'(x) = 2x + 1$$ Evaluamos en $x = 2$: $$f'(2) = 2(2) + 1 = 5$$ 3. **Sustituimos en la fórmula de la recta:** $$y - 4 = 5(x - 2)$$ $$y - 4 = 5x - 10$$ $$y = 5x - 6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 5x - 6}$$