Probabilidad y Estadística 2017 Castilla la Mancha
Probabilidad condicionada y distribución normal
5B. a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:
a1) El libro elegido sea de matemáticas. (0,75 puntos)
a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B. (0,5 puntos)
b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.
b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos. (0,75 puntos)
b2) ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 % de los usuarios? Razona la respuesta. (0,5 puntos)
| a | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,1 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,5596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,2 | 0,5793 | 0,5832 | 0,5871 | 0,5910 | 0,5948 | 0,5987 | 0,6026 | 0,6064 | 0,6103 | 0,6141 |
| 0,3 | 0,6179 | 0,6217 | 0,6255 | 0,6293 | 0,6331 | 0,6368 | 0,6406 | 0,6443 | 0,6480 | 0,6517 |
| 0,4 | 0,6554 | 0,6591 | 0,6628 | 0,6664 | 0,6700 | 0,6736 | 0,6772 | 0,6808 | 0,6844 | 0,6879 |
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a1) El libro elegido sea de matemáticas. (0,75 puntos)**
Primero definimos los sucesos del experimento:
- $A$: Elegir la estantería A.
- $B$: Elegir la estantería B.
- $M$: El libro elegido es de matemáticas.
- $\bar{M}$: El libro elegido no es de matemáticas.
Calculamos las probabilidades de cada estantería:
Como se elige una al azar, $P(A) = P(B) = 0,5$.
Calculamos las probabilidades condicionadas según el contenido:
- Estantería A: Total libros $= 20 + 10 + 10 = 40$. $P(M|A) = \frac{10}{40} = 0,25$.
- Estantería B: Total libros $= 12 + 8 = 20$. $P(M|B) = \frac{8}{20} = 0,4$.
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de elegir un libro de matemáticas usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(M) = P(A) \cdot P(M|A) + P(B) \cdot P(M|B)$$
Sustituyendo los valores del paso anterior:
$$P(M) = 0,5 \cdot 0,25 + 0,5 \cdot 0,4$$
$$P(M) = 0,125 + 0,20 = 0,325$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0,325}$$
Paso 3
Aplicación del Teorema de Bayes
**a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B. (0,5 puntos)**
Nos piden una probabilidad condicionada inversa: sabiendo que el libro es de matemáticas ($M$), ¿cuál es la probabilidad de que provenga de $B$? Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(B|M) = \frac{P(B) \cdot P(M|B)}{P(M)}$$
Utilizamos el valor de $P(M)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(B|M) = \frac{0,5 \cdot 0,4}{0,325} = \frac{0,2}{0,325}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(B|M) = \frac{200}{325} = \frac{8}{13} \approx 0,6154$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B|M) \approx 0,6154}$$
Paso 4
Distribución normal y tipificación
**b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos. (0,75 puntos)**
Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de espera. Sabemos que $X$ sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu=15, \sigma=5)$$
Queremos calcular $P(X \lt 13)$. Para usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, debemos tipificar la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X \lt 13) = P\left(Z \lt \frac{13 - 15}{5}\right) = P(Z \lt -0,4)$$
Por simetría de la campana de Gauss:
$$P(Z \lt -0,4) = P(Z \gt 0,4) = 1 - P(Z \le 0,4)$$
Buscamos en la tabla proporcionada el valor para $0,4$: $P(Z \le 0,4) = 0,6554$.
$$P(X \lt 13) = 1 - 0,6554 = 0,3446$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \lt 13) = 0,3446}$$
Paso 5
Cálculo del percentil
**b2) ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 % de los usuarios? Razona la respuesta. (0,5 puntos)**
Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de esperar más de $k$ minutos sea del $33\%$:
$$P(X \gt k) = 0,33$$
Esto es equivalente a decir que el $67\%$ de los usuarios esperan menos o igual a $k$ minutos:
$$P(X \le k) = 1 - 0,33 = 0,67$$
Tipificamos la variable:
$$P\left(Z \le \frac{k - 15}{5}\right) = 0,67$$
Buscamos en la tabla qué valor de $z$ corresponde a una probabilidad de $0,67$. Observando la tabla:
Para $a = 0,44$, la probabilidad es exactamente $0,6700$.
Por tanto:
$$\frac{k - 15}{5} = 0,44$$
Despejamos $k$:
$$k - 15 = 0,44 \cdot 5$$
$$k - 15 = 2,2$$
$$k = 17,2 \text{ minutos}$$
💡 **Tip:** En estos ejercicios, siempre es útil dibujar la campana para visualizar si el valor buscado está a la derecha o izquierda de la media.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{17,2 \text{ minutos}}$$