Recta por dos puntos y punto equidistante en una recta

**a) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos $P(0, 1, -2)$ y $Q(4, -3, 0)$. (1 punto)** Para definir una recta en el espacio necesitamos un punto y un vector director. Utilizaremos el punto $P(0, 1, -2)$ y el vector $\vec{PQ}$ como vector director $\vec{v}$. Calculamos el vector director: $$\vec{v} = \vec{PQ} = Q - P = (4 - 0, -3 - 1, 0 - (-2)) = (4, -4, 2).$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $2$ para facilitar los cálculos (cualquier vector proporcional sirve): $$\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{v} = (2, -2, 1).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta pasa por $A$ y $B$, su vector director es $\vec{AB} = B - A$ o cualquier múltiplo de este.

A partir del punto $P(0, 1, -2)$ y el vector $\vec{u}(2, -2, 1)$, escribimos primero la ecuación en forma continua: $$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 2}{1}$$ Para obtener la forma implícita (o general), igualamos las fracciones de dos en dos para obtener dos planos cuya intersección sea la recta: 1. De la primera igualdad: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{-2} \implies -2x = 2(y - 1) \implies -2x = 2y - 2 \implies 2x + 2y - 2 = 0$. Dividiendo entre 2: **$x + y - 1 = 0$**. 2. De la segunda igualdad: $\dfrac{y - 1}{-2} = \dfrac{z + 2}{1} \implies y - 1 = -2(z + 2) \implies y - 1 = -2z - 4 \implies y + 2z + 3 = 0$. ✅ **Resultado (ecuación implícita):** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ y + 2z + 3 = 0 \end{cases}}$$

**b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de $P$ y $Q$ y que pertenezca a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = -5 \end{cases}$. (1,5 puntos)** Un punto $S$ pertenece a la recta $r$ si sus coordenadas son de la forma: $$S(2 + \lambda, -\lambda, -5)$$ La condición de que equidiste de $P(0, 1, -2)$ y $Q(4, -3, 0)$ significa que la distancia de $S$ a $P$ debe ser igual a la distancia de $S$ a $Q$: $$d(S, P) = d(S, Q)$$ Para evitar las raíces cuadradas, trabajamos con los cuadrados de las distancias: $$d(S, P)^2 = d(S, Q)^2$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ es $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Calculamos ambos términos por separado: **Distancia al cuadrado a $P(0, 1, -2)$:** $$d(S, P)^2 = (2 + \lambda - 0)^2 + (-\lambda - 1)^2 + (-5 - (-2))^2$$ $$d(S, P)^2 = (2 + \lambda)^2 + (-\lambda - 1)^2 + (-3)^2$$ $$d(S, P)^2 = (4 + 4\lambda + \lambda^2) + (\lambda^2 + 2\lambda + 1) + 9 = 2\lambda^2 + 6\lambda + 14$$ **Distancia al cuadrado a $Q(4, -3, 0)$:** $$d(S, Q)^2 = (2 + \lambda - 4)^2 + (-\lambda - (-3))^2 + (-5 - 0)^2$$ $$d(S, Q)^2 = (\lambda - 2)^2 + (3 - \lambda)^2 + (-5)^2$$ $$d(S, Q)^2 = (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + (9 - 6\lambda + \lambda^2) + 25 = 2\lambda^2 - 10\lambda + 38$$ Igualamos ambas expresiones: $$2\lambda^2 + 6\lambda + 14 = 2\lambda^2 - 10\lambda + 38$$ Eliminamos los términos en $\lambda^2$ y despejamos: $$6\lambda + 10\lambda = 38 - 14$$ $$16\lambda = 24 \implies \lambda = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Sustituimos el valor obtenido de $\lambda = 1.5$ en las coordenadas del punto genérico $S$: $$x = 2 + 1.5 = 3.5 = \frac{7}{2}$$ $$y = -(1.5) = -1.5 = -\frac{3}{2}$$ $$z = -5$$ Por tanto, el punto buscado es $S(3.5, -1.5, -5)$. ✅ **Resultado (punto equidistante):** $$\boxed{S\left(\frac{7}{2}, -\frac{3}{2}, -5\right)}$$