Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) ¿Tiene inversa la matriz $2I_3 + B$? Razona la respuesta. $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. (1 punto)** Primero, calculamos la matriz $M = 2I_3 + B$. La matriz identidad $I_3$ es: $$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $2$ y sumamos la matriz $B$: $$M = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Para comprobar si $M$ tiene inversa, calculamos su determinante $|M|$ mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 2 \cdot 2) - (1 \cdot 0 \cdot 0)$$ $$|M| = 2 + 0 + 0 - 1 - 0 - 0 = 1$$ Como $|M| = 1 \neq 0$, la matriz es regular y por tanto: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } 2I_3 + B \text{ tiene inversa}}$$

**b) Calcula razonadamente la matriz $X$ que verifica que $2X + C = A - X \cdot B$. (1,5 puntos)** Primero aislamos los términos con la incógnita $X$ en un lado de la ecuación: $$2X + X \cdot B = A - C$$ Factorizamos la matriz $X$ por la izquierda. Para que la expresión sea coherente, debemos multiplicar el término escalar $2X$ por la matriz identidad $I_3$: $$X \cdot (2I_3 + B) = A - C$$ Llamamos $M = 2I_3 + B$. La ecuación queda: $$X \cdot M = A - C$$ Como en el apartado anterior hemos demostrado que $M$ es invertible ($|M| = 1 \neq 0$), podemos multiplicar por $M^{-1}$ por la derecha en ambos miembros: $$X \cdot M \cdot M^{-1} = (A - C) \cdot M^{-1}$$ $$X = (A - C) \cdot M^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la derecha en un miembro, debes hacerlo por la derecha en el otro.

Calculamos la resta de matrices $A - C$: $$A - C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 & 1-1 & 0-0 \\ -1-0 & 0-3 & 0-0 \\ 1-(-1) & 2-0 & -1-(-1) \end{pmatrix}$$ $$A - C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Para hallar $M^{-1} = \frac{1}{|M|} [Adj(M)]^t$, calculamos los adjuntos de $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$: $M_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $M_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4$; $M_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $M_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$; $M_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1$; $M_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $M_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $M_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2$; $M_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz de adjuntos es $Adj(M) = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. La trasponemos: $[Adj(M)]^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Como $|M|=1$, entonces $M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X = (A - C) \cdot M^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 + 0 & 2 \cdot 0 + 0 + 0 & 2 \cdot (-1) + 0 + 0 \\ -1 \cdot 2 + (-3)(-4) + 0 & -1 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 0 & -1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 + 0 \\ 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) + 0 & 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 0 & 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 10 & -3 & -5 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 10 & -3 & -5 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}}$$