Área entre parábolas y recta normal

**a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas. (1,5 puntos)** Para hallar el área del recinto limitado por las dos funciones, primero debemos encontrar los puntos donde sus gráficas se intersectan. Igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies -x^2 = x^2 - 2x - 4$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - 2x - 4 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre $2$ para simplificar: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los límites de integración: $$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte de las funciones determinan los límites superior e inferior de la integral definida para calcular el área. $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

Para calcular el área, restamos la función superior menos la inferior. Elegimos un valor dentro del intervalo $(-1, 2)$, por ejemplo $x = 0$: $$f(0) = -(0)^2 = 0$$ $$g(0) = 0^2 - 2(0) - 4 = -4$$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$ en todo el intervalo. La función a integrar será: $$h(x) = f(x) - g(x) = -x^2 - (x^2 - 2x - 4) = -2x^2 + 2x + 4$$

El área es la integral definida de $h(x)$ entre los límites hallados: $$A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$G(x) = \int (-2x^2 + 2x + 4) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x = -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$G(2) = -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{-16 + 36}{3} = \frac{20}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$G(-1) = -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = \frac{2 - 9}{3} = -\frac{7}{3}$$ Restamos los valores: $$A = G(2) - G(-1) = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado es negativo, probablemente se restaron las funciones en el orden inverso. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = 9 \text{ unidades}^2}$$

**b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de $g(x)$ en el punto de abscisa $x = -3$. (1 punto)** Primero, hallamos el punto completo $(x_0, y_0)$ en la gráfica de $g(x)$ para $x_0 = -3$: $$y_0 = g(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11$$ El punto es $P(-3, 11)$. Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente ($m_t$) derivando $g(x)$: $$g'(x) = 2x - 2$$ $$m_t = g'(-3) = 2(-3) - 2 = -6 - 2 = -8$$ La pendiente de la recta normal ($m_n$) es la opuesta e inversa de la pendiente de la tangente: $$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares es $m_t \cdot m_n = -1$.

Utilizamos la ecuación punto-pendiente para la recta normal: $$y - y_0 = m_n(x - x_0)$$ $$y - 11 = \frac{1}{8}(x - (-3))$$ $$y - 11 = \frac{1}{8}(x + 3)$$ Operamos para obtener la ecuación explícita: $$y = \frac{1}{8}x + \frac{3}{8} + 11$$ $$y = \frac{1}{8}x + \frac{3 + 88}{8}$$ $$y = \frac{x + 91}{8}$$ ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = \frac{1}{8}x + \frac{91}{8}}$$