Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}$** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = -2$ en la expresión: Numerador: $(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$ Denominador: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\left[ \frac{0}{0} \right]$. Al ser funciones polinómicas, son derivables en todo $\mathbb{R}$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos permite resolver límites con indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador de forma independiente.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4} = \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 6x}{3x^2 + 10x + 8}$$ Evaluamos de nuevo en $x = -2$: Numerador: $3(-2)^2 + 6(-2) = 12 - 12 = 0$ Denominador: $3(-2)^2 + 10(-2) + 8 = 12 - 20 + 8 = 0$ Como persiste la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 6x}{3x^2 + 10x + 8} = \lim_{x \to -2} \frac{6x + 6}{6x + 10}$$ Sustituimos ahora el valor $x = -2$: $$\frac{6(-2) + 6}{6(-2) + 10} = \frac{-12 + 6}{-12 + 10} = \frac{-6}{-2} = 3$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{3}$$

**b) $\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{2 - 2 \cos x}$** Evaluamos el límite en el punto $x = 0$: Numerador: $0 \cdot \ln(0 + 1) = 0 \cdot 0 = 0$ Denominador: $2 - 2 \cos(0) = 2 - 2(1) = 0$ Obtenemos de nuevo la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$. Dado que las funciones involucradas son continuas y derivables en un entorno de $0$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada del logaritmo neperiano es $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ y para el numerador usaremos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$.

Derivamos numerador y denominador: - Derivada del numerador: $(x \ln(x+1))' = 1 \cdot \ln(x+1) + x \cdot \frac{1}{x+1} = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}$ - Derivada del denominador: $(2 - 2 \cos x)' = 0 - 2(-\sin x) = 2 \sin x$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) + \frac{x}{x+1}}{2 \sin x}$$ Al evaluar en $x = 0$, obtenemos de nuevo $\left[ \frac{0 + 0}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right]$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: - Nueva derivada del numerador: $\frac{1}{x+1} + \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$ - Nueva derivada del denominador: $(2 \sin x)' = 2 \cos x$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}}{2 \cos x} = \frac{\frac{1}{0+1} + \frac{1}{(0+1)^2}}{2 \cos(0)} = \frac{1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{1}$$