Probabilidad y Estadística 2017 Castilla la Mancha
Probabilidad: Teorema de la Probabilidad Total, Bayes y Distribución Binomial
5A. a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50 %, el 30 % y el 20 % de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 % de las resistencias producidas por A, el 5 % de las producidas por B y el 3 % de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:
a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. (0,75 puntos)
a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A. (0,5 puntos)
b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de:
b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B. (0,75 puntos)
b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B. (0,5 puntos)
| n | k | p | 0,01 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,33 | 0,35 | 0,40 | 0,45 | 0,49 | 0,50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 0 | | 0,9510 | 0,7738 | 0,5905 | 0,4437 | 0,3277 | 0,2373 | 0,1681 | 0,1317 | 0,1160 | 0,0778 | 0,0503 | 0,0345 | 0,0313 |
| | 1 | | 0,0480 | 0,2036 | 0,3281 | 0,3915 | 0,4096 | 0,3955 | 0,3602 | 0,3292 | 0,3124 | 0,2592 | 0,2059 | 0,1657 | 0,1563 |
| | 2 | | 0,0010 | 0,0214 | 0,0729 | 0,1382 | 0,2048 | 0,2637 | 0,3087 | 0,3292 | 0,3364 | 0,3456 | 0,3369 | 0,3185 | 0,3125 |
| | 3 | | 0,0000 | 0,0011 | 0,0081 | 0,0244 | 0,0512 | 0,0879 | 0,1323 | 0,1646 | 0,1811 | 0,2304 | 0,2757 | 0,3060 | 0,3125 |
| | 4 | | 0,0000 | 0,0000 | 0,0005 | 0,0022 | 0,0064 | 0,0146 | 0,0284 | 0,0412 | 0,0488 | 0,0768 | 0,1128 | 0,1470 | 0,1563 |
| | 5 | | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0003 | 0,0010 | 0,0024 | 0,0041 | 0,0053 | 0,0102 | 0,0185 | 0,0282 | 0,0313 |
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
Para resolver el primer apartado, definimos los sucesos según el enunciado:
- $A$: La resistencia es fabricada por el operario A. $P(A) = 0,50$.
- $B$: La resistencia es fabricada por el operario B. $P(B) = 0,30$.
- $C$: La resistencia es fabricada por el operario C. $P(C) = 0,20$.
- $D$: La resistencia es defectuosa.
- $\bar{D}$: La resistencia no es defectuosa (correcta).
Las probabilidades condicionadas dadas son:
$P(D|A) = 0,06$
$P(D|B) = 0,05$
$P(D|C) = 0,03$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
**a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. (0,75 puntos)**
Para calcular la probabilidad de que una resistencia sea defectuosa, $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = 0,50 \cdot 0,06 + 0,30 \cdot 0,05 + 0,20 \cdot 0,03$$
$$P(D) = 0,030 + 0,015 + 0,006$$
$$P(D) = 0,051$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,051}$$
Paso 3
Aplicación del Teorema de Bayes
**a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A. (0,5 puntos)**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(A|D)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|D) = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$
Utilizamos los valores obtenidos anteriormente:
- Numerador (Probabilidad de que sea de A y defectuosa): $0,50 \cdot 0,06 = 0,030$.
- Denominador (Probabilidad total de ser defectuosa): $P(D) = 0,051$.
$$P(A|D) = \frac{0,030}{0,051} = \frac{30}{51} = \frac{10}{17} \approx 0,5882$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite calcular probabilidades "a posteriori", es decir, sabiendo que el efecto (ser defectuosa) ya ha ocurrido, estimar la causa (operario A).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|D) \approx 0,5882}$$
Paso 4
Modelado mediante Distribución Binomial
**b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades.**
En este apartado, cada resistencia de la caja es un experimento independiente. Nos interesa el número de resistencias fabricadas por el operario B.
Definimos la variable aleatoria $X$: "Número de resistencias fabricadas por B en una muestra de $n=5$ resistencias".
Como cada resistencia tiene una probabilidad constante de ser del operario B, $p = P(B) = 0,30$, y hay un número fijo de ensayos $n=5$, la variable sigue una **distribución Binomial**:
$$X \sim B(n, p) = B(5; 0,30)$$
La función de probabilidad es: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
Paso 5
Probabilidad de exactamente tres resistencias de B
**b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B. (0,75 puntos)**
Buscamos $P(X = 3)$. Utilizando la tabla de la distribución binomial proporcionada en el enunciado para $n=5$ y $p=0,30$:
1. Buscamos la fila $k = 3$.
2. Buscamos la columna $p = 0,30$.
El valor en la intersección es:
$$P(X = 3) = 0,1323$$
💡 **Tip:** Si no tuviéramos la tabla, calcularíamos: $P(X=3) = \binom{5}{3} (0,3)^3 (0,7)^2 = 10 \cdot 0,027 \cdot 0,49 = 0,1323$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X = 3) = 0,1323}$$
Paso 6
Probabilidad de al menos dos resistencias de B
**b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B. (0,5 puntos)**
Se nos pide calcular $P(X \ge 2)$. Esto equivale a la suma de las probabilidades de tener 2, 3, 4 o 5 resistencias de B:
$$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$
Consultamos los valores en la tabla para $n=5$ y $p=0,30$:
- $P(X=2) = 0,3087$
- $P(X=3) = 0,1323$
- $P(X=4) = 0,0284$
- $P(X=5) = 0,0024$
Sumamos los valores:
$$P(X \ge 2) = 0,3087 + 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,4718$$
💡 **Tip:** También se puede calcular por el suceso complementario: $P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - (0,1681 + 0,3602) = 1 - 0,5283 = 0,4717$. La pequeña diferencia se debe al redondeo de los valores de la tabla.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 2) = 0,4718}$$