Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano paralelo

**a) Determina razonadamente la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (1,5 puntos)** Primero, identificamos los elementos característicos de la recta $r$, que viene dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{0}$$ De los denominadores obtenemos el vector director $\vec{v_r}$ y del numerador un punto $P_r$ perteneciente a la recta: - Vector director: $\vec{v_r} = (-1, 2, 0)$ - Punto de la recta: $P_r(2, -1, 0)$ 💡 **Tip:** Cuando una recta tiene un $0$ en el denominador en su forma continua, significa que la componente correspondiente del vector director es cero. En este caso, la recta es paralela al plano $XY$ (ya que $z$ es constante).

La recta $s$ está definida como intersección de dos planos. Obtenemos su vector director $\vec{v_s}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos $\vec{n_1}$ y $\vec{n_2}$: Planos: $\pi_1: x - y + 2z + 4 = 0 \implies \vec{n_1} = (1, -1, 2)$ y $\pi_2: x + z + 1 = 0 \implies \vec{n_2} = (1, 0, 1)$. $$\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v_s} = [(-1) \cdot 1] \vec{i} + [2 \cdot 1] \vec{j} + [1 \cdot 0] \vec{k} - ([1 \cdot (-1)] \vec{k} + [0 \cdot 2] \vec{i} + [1 \cdot 1] \vec{j})$$ $$\vec{v_s} = -\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} - (-\vec{k} + 0\vec{i} + \vec{j}) = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$ Así, el vector director es **$\vec{v_s} = (-1, 1, 1)$**. Para obtener un punto $P_s$, fijamos $z = 0$ en las ecuaciones de $s$: $$\begin{cases} x - y + 4 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{cases} \implies x = -1 \implies -1 - y + 4 = 0 \implies y = 3$$ Obtenemos el punto **$P_s(-1, 3, 0)$**. 💡 **Tip:** Para encontrar un punto en una recta dada por dos planos, basta con asignar un valor arbitrario a una de las variables (siempre que la recta no sea paralela a ese eje) y resolver el sistema.

Comparamos los vectores directores $\vec{v_r} = (-1, 2, 0)$ y $\vec{v_s} = (-1, 1, 1)$. No son proporcionales, ya que $\frac{-1}{-1} \neq \frac{2}{1}$. Por tanto, las rectas **o se cortan o se cruzan**. Para decidirlo, estudiamos el rango de la matriz formada por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector que une los puntos de ambas rectas $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - 2, 3 - (-1), 0 - 0) = (-3, 4, 0)$$ Calculamos el determinante: $$|\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$|\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}| = (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (-1) \cdot [(-4) - (-6)] = (-1) \cdot 2 = -2$$ Como el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y a $s$. (1 punto)** Si el plano $\pi$ es paralelo a las rectas $r$ y $s$, su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$). Calculamos $\vec{n_\pi}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{n_\pi} = [(2 \cdot 1) - (0 \cdot 1)] \vec{i} - [(-1 \cdot 1) - (0 \cdot -1)] \vec{j} + [(-1 \cdot 1) - (2 \cdot -1)] \vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = 2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (2, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores te da un tercer vector que es perpendicular a ambos simultáneamente, ideal para encontrar el vector normal de un plano a partir de sus vectores directores.

Con el vector normal $\vec{n_\pi} = (2, 1, 1)$ y el punto $P(2, 0, -1)$, la ecuación del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z - (-1)) = 0$$ Desarrollamos la expresión: $$2x - 4 + y + z + 1 = 0$$ $$2x + y + z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x + y + z - 3 = 0}$$