Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -a \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -1 & 1 & a-4 \\ 2 & 1 & -a & a-1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -a \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [a \cdot 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-a) \cdot 0 + 1 \cdot 2 \cdot 1] - [1 \cdot 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 \cdot (-1) + a \cdot (-a) \cdot 1]$$ $$|A| = [-a + 0 + 2] - [0 + 2 - a^2] = -a + 2 - 2 + a^2 = a^2 - a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 - a = 0 \implies a(a - 1) = 0 \implies a = 0, \quad a = 1$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite conocer la naturaleza del sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes, el de la ampliada y el número de incógnitas.

Analizamos los tres casos posibles basándonos en los valores de $a$ hallados: **Caso 1: Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3. Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, el rango de $A^*$ también es 3. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, teniendo una solución única. **Caso 2: Si $a = 0$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 1 & -4 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array}\right)$. Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0 - (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + (-4)\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(-6) - 4(2) = -14 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: Si $a = 1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array}\right)$. Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1(-3) - (-1)(-6) + (-3)(2) = -3 - 6 - 6 = -15 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, 1 \implies \text{SCD; Si } a = 0 \implies \text{SI; Si } a = 1 \implies \text{SI}}$$

**b) Resuélvelo razonadamente para el valor $a = -1$.** Si $a = -1$, estamos en el caso SCD (sistema compatible determinado). El sistema es: $$\begin{cases} -x - y + z = -5 \\ 2x + y + z = -2 \\ y - z = -3 \end{cases}$$ Calculamos primero el determinante de la matriz de coeficientes para $a = -1$: $|A| = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Aplicamos la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} -5 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{2} = \frac{(5 + 3 - 2) - (-3 - 5 - 2)}{2} = \frac{6 - (-10)}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} -1 & -5 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & -1 \end{vmatrix}}{2} = \frac{(-2 + 0 - 6) - (0 + 3 + 10)}{2} = \frac{-8 - 13}{2} = -\frac{21}{2}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} -1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}}{2} = \frac{(3 + 0 - 10) - (0 + 2 + 6)}{2} = \frac{-7 - 8}{2} = -\frac{15}{2}$$ 💡 **Tip:** Puedes verificar la solución sustituyendo los valores en la tercera ecuación: $y - z = -\frac{21}{2} - (-\frac{15}{2}) = -\frac{6}{2} = -3$. ¡Correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 8, \quad y = -\frac{21}{2}, \quad z = -\frac{15}{2}}$$