Optimización: Volumen máximo de un cajón

Para resolver este problema de optimización, primero debemos identificar las variables y la función a maximizar. Sea $x$ la longitud del lado del cuadrado que cortamos en cada una de las cuatro esquinas de la chapa de $8 \times 5$ metros. Al doblar los laterales para formar el cajón: - La **altura** del cajón será $x$. - El **largo** de la base será $8 - 2x$. - El **ancho** de la base será $5 - 2x$. Debido a las dimensiones físicas de la chapa, $x$ debe ser positivo y no puede superar la mitad del lado más corto: - $x > 0$ - $5 - 2x > 0 \implies x < 2.5$ Por tanto, el dominio de nuestra función será el intervalo abierto $D = (0, 2.5)$. 💡 **Tip:** Siempre es útil definir el dominio físico de la variable en problemas de optimización para descartar soluciones matemáticas que no tengan sentido real.

El volumen $V$ de un ortoedro (el cajón) se calcula multiplicando sus tres dimensiones: $$V(x) = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$$ $$V(x) = (8 - 2x)(5 - 2x)x$$ Desarrollamos el producto para facilitar la derivación posterior: $$V(x) = (40 - 16x - 10x + 4x^2)x$$ $$V(x) = (40 - 26x + 4x^2)x$$ $$V(x) = 4x^3 - 26x^2 + 40x$$ $$\boxed{V(x) = 4x^3 - 26x^2 + 40x}$$

Para maximizar el volumen, derivamos la función $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = 12x^2 - 52x + 40$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $12x^2 - 52x + 40 = 0$. Podemos simplificar dividiendo entre $4$: $$3x^2 - 13x + 10 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)}$$ $$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{6} = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{13 \pm 7}{6}$$ Obtenemos dos posibles soluciones: 1. $x_1 = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ 2. $x_2 = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$ Dado que nuestro dominio es $(0, 2.5)$, descartamos $x_1 = 10/3$ por estar fuera del intervalo. El único punto crítico válido es **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero o no existe.

Debemos comprobar que en $x = 1$ hay un máximo relativo. Podemos usar el criterio de la segunda derivada: $$V''(x) = 24x - 52$$ Evaluamos en el punto crítico: $$V''(1) = 24(1) - 52 = 24 - 52 = -28$$ Como $V''(1) < 0$, por el criterio de la segunda derivada, la función presenta un **máximo relativo en $x = 1$**. También podemos observar el signo de la primera derivada en torno al punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, 2.5)\\\hline V'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ La función crece antes de $x=1$ y decrece después, confirmando el máximo.

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el volumen, calculamos las dimensiones del cajón: - **Altura:** $x = 1$ metro. - **Largo:** $8 - 2x = 8 - 2(1) = 6$ metros. - **Ancho:** $5 - 2x = 5 - 2(1) = 3$ metros. El volumen máximo alcanzado sería $V(1) = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18 \text{ m}^3$. ✅ **Resultado final:** Las dimensiones del cajón de volumen máximo son: $$\boxed{\text{Largo: } 6 \text{ m, Ancho: } 3 \text{ m, Altura: } 1 \text{ m}}$$