Continuidad, derivabilidad y Teorema de Rolle con parámetros

**a) Calcula razonadamente los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. (1,5 puntos)** Para que una función sea derivable en todo $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo $\mathbb{R}$. Las funciones que definen cada rama ($x^2 + a$ y $-x^2 + bx - 9$) son polinómicas, por lo que son continuas y derivables en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto de posible conflicto es el salto entre ramas en $x = 2$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(2) = 2^2 + a = 4 + a$ 2. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + a) = 4 + a$ 3. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x^2 + bx - 9) = -4 + 2b - 9 = 2b - 13$ Igualamos los límites para asegurar la continuidad: $$4 + a = 2b - 13 \implies a - 2b = -17$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre debemos imponer la continuidad como paso previo.

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 2 \\ -2x + b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales en dicho punto deben existir y ser iguales ($f'(2^-) = f'(2^+)$): 1. Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = 2(2) = 4$ 2. Derivada por la derecha: $f'(2^+) = -2(2) + b = -4 + b$ Igualamos ambas expresiones: $$4 = -4 + b \implies b = 8$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, que las derivadas laterales coincidan significa que no hay un "pico" o punto anguloso en la unión de las dos gráficas; la transición es suave.

Sustituimos el valor de $b = 8$ en la ecuación de continuidad obtenida en el primer paso: $$a - 2b = -17$$ $$a - 2(8) = -17 \implies a - 16 = -17$$ $$a = -17 + 16 = -1$$ Por tanto, los valores para que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$ son: $$\boxed{a = -1, \quad b = 8}$$ La función resultante es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ -x^2 + 8x - 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

**b) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función $f(x)$ verifica las hipótesis del teorema en el intervalo $[-2, 6]$. (1 punto)** **Enunciado del Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes tres hipótesis: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos son iguales: $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que su derivada es nula, es decir, **$f'(c) = 0$**.

Comprobamos las hipótesis para $f(x)$ con $a = -1$ y $b = 8$ en el intervalo $[-2, 6]$: 1. **Continuidad:** Hemos calculado en el apartado anterior que la función es continua en todo $\mathbb{R}$ para estos valores. Por tanto, es continua en $[-2, 6]$. 2. **Derivabilidad:** Hemos calculado que la función es derivable en todo $\mathbb{R}$ para estos valores. Por tanto, es derivable en el abierto $(-2, 6)$. 3. **Igualdad en los extremos:** - Para $x = -2$: Como $-2 \le 2$, usamos la primera rama: $f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. - Para $x = 6$: Como $6 > 2$, usamos la segunda rama: $f(6) = -(6)^2 + 8(6) - 9 = -36 + 48 - 9 = 12 - 9 = 3$. Como $f(-2) = f(6) = 3$, se cumple la tercera condición. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{La función verifica todas las hipótesis del Teorema de Rolle en } [-2, 6]}$$ 💡 **Tip:** Si alguna de las tres condiciones fallara, el teorema no aseguraría la existencia del punto $c$ con derivada cero, aunque dicho punto pudiera existir de todas formas.