Continuidad de una función a trozos y cálculo de área

**a) Encontrar $a$ para que la función sea continua. (1 punto)** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, debemos asegurar la continuidad en el punto de salto $x = 1$. Una función es continua en $x = c$ si se cumple que: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$ Calculamos los límites laterales en $x = 1$: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** Usamos la primera rama $(x-1)^2$ $$\lim_{x \to 1^-} (x-1)^2 = (1-1)^2 = 0$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** Usamos la segunda rama $a + \ln x$ $$\lim_{x \to 1^+} (a + \ln x) = a + \ln 1 = a + 0 = a$$ 3. **Valor de la función ($f(1)$):** $$f(1) = (1-1)^2 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$ y que para funciones a trozos, la continuidad requiere que las ramas "encajen" en el valor de la función. Para que sea continua, igualamos los resultados: $$a = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x = 1, y = 1$. (1,25 puntos)** Con $a = 0$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Buscamos los puntos de intersección entre $f(x)$ y la recta $y = 1$ para definir los límites de integración: - **Para $x \le 1$:** $$(x-1)^2 = 1 \implies x-1 = \pm 1$$ Si $x-1 = 1 \implies x = 2$ (No válido, pues $x \le 1$). Si $x-1 = -1 \implies x = 0$ (Válido). - **Para $x > 1$:** $$\ln x = 1 \implies x = e^1 = e \approx 2,718$$ La región está delimitada por la gráfica de $f(x)$, la recta horizontal $y=1$ y la recta vertical $x=1$. Esto genera dos recintos que comparten la frontera $x=1$: 1. Un recinto entre $x=0$ y $x=1$. 2. Un recinto entre $x=1$ y $x=e$. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $h(x)$ en un intervalo $[a,b]$ es $\int_a^b |g(x) - h(x)| \, dx$.

Calculamos el área del primer recinto ($x \in [0, 1]$), donde la función es $f(x) = (x-1)^2$ y queda por debajo de $y=1$: $$A_1 = \int_{0}^{1} [1 - (x-1)^2] \, dx$$ Resolvemos la integral aplicando la regla de la cadena de forma inversa o desarrollando el binomio. Usaremos el desarrollo: $$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$$ $$1 - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x$$ Calculamos la integral definida: $$A_1 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^1$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_1 = \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 0^2 \right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_1 = \frac{2}{3}}$$

Calculamos el área del segundo recinto ($x \in [1, e]$), donde la función es $f(x) = \ln x$ y queda por debajo de $y=1$: $$A_2 = \int_{1}^{e} (1 - \ln x) \, dx = \int_{1}^{e} 1 \, dx - \int_{1}^{e} \ln x \, dx$$ Para $\int \ln x \, dx$ usamos **integración por partes**: Sea $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = dx \implies v = x$ $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x$$ Entonces, la primitiva de $(1 - \ln x)$ es: $$G(x) = x - (x \ln x - x) = 2x - x \ln x$$ Aplicamos Barrow entre $1$ y $e$: $$A_2 = [2x - x \ln x]_1^e = (2e - e \ln e) - (2(1) - 1 \ln 1)$$ $$A_2 = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$. $$\boxed{A_2 = e - 2}$$

El área total de la región es la suma de las dos áreas calculadas: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + (e - 2)$$ $$A_{total} = e - \frac{4}{3} \approx 1,385 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = e - \frac{4}{3} \text{ u}^2}$$