Extremos relativos con parámetros y límites con L'Hôpital

**a) Dado el polinomio $P(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$, hallar $C$ para que el valor de $P(x)$ en su mínimo relativo sea 1. (1,25 puntos)** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la primera derivada del polinomio $P(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$P'(x) = \frac{3x^2}{3} - \frac{6x}{2} + 2 = x^2 - 3x + 2.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}.$$ Esto nos da dos valores posibles para los puntos críticos: $$x_1 = \frac{4}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{2}{2} = 1.$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos de una función derivable siempre se encuentran entre los puntos donde la derivada es igual a cero.

Para identificar cuál de los puntos críticos es el mínimo relativo, estudiamos el signo de la derivada $P'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces $x=1$ y $x=2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,2) & 2 & (2,+\infty)\\\hline P'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline P(x) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ Como la función pasa de decreciente a creciente en $x=2$, concluimos que existe un **mínimo relativo en $x=2$**. También podríamos haber usado la segunda derivada: $$P''(x) = 2x - 3$$ $$P''(2) = 2(2) - 3 = 1 \gt 0 \implies \text{Mínimo en } x=2.$$ 💡 **Tip:** Si $f''(a) \gt 0$, la función tiene un mínimo relativo en $x=a$.

El enunciado establece que el valor del polinomio en su mínimo relativo debe ser $1$. Esto significa que $P(2) = 1$. Sustituimos $x=2$ en la expresión original de $P(x)$: $$P(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 2(2) + C = 1$$ $$\frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4 + C = 1$$ $$\frac{8}{3} - 6 + 4 + C = 1$$ $$\frac{8}{3} - 2 + C = 1$$ Despejamos $C$: $$C = 1 + 2 - \frac{8}{3}$$ $$C = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C = \frac{1}{3}}$$

**b) Calcular $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$. (1 punto)** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot (-\infty).$$ Esta es una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$. Para aplicar la regla de L'Hôpital, debemos transformar la expresión en un cociente del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right].$$ Ahora aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ - Derivada del denominador: $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}.$$ Simplificamos la expresión algebraica antes de volver a evaluar: $$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} \cdot (-x^2) \right) = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para usar L'Hôpital la función debe estar escrita como una fracción. Siempre intenta dejar la parte logarítmica en el numerador para facilitar la derivada. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{0}$$