Recta en un plano perpendicular a otra recta

Para determinar la recta buscada, primero necesitamos hallar el punto por el que pasa. Según el enunciado, este punto es el **punto medio $M$** del segmento definido por $P(0, 1, 1)$ y $Q(2, -1, -3)$. Utilizamos la fórmula del punto medio: $$M = \left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}, \frac{z_P + z_Q}{2} \right)$$ Sustituimos las coordenadas de $P$ y $Q$: $$M = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 - 1}{2}, \frac{1 - 3}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{-2}{2} \right)$$ $$M(1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el punto medio es simplemente el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos del segmento. $$\boxed{M(1, 0, -1)}$$

La recta que buscamos es perpendicular a la recta que pasa por $P$ y $Q$. Por tanto, su vector director debe ser ortogonal al vector $\vec{v_{PQ}}$. Calculamos el vector $\vec{v_{PQ}}$: $$\vec{v_{PQ}} = Q - P = (2 - 0, -1 - 1, -3 - 1) = (2, -2, -4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{u} = (1, -1, -2)$$ $$\boxed{\vec{u} = (1, -1, -2)}$$

Llamemos $r$ a la recta que queremos encontrar y $\vec{d_r}$ a su vector director. Según las condiciones del problema: 1. La recta $r$ está contenida en el plano $\pi \equiv 3x + y + z - 2 = 0$. Esto implica que su vector director $\vec{d_r}$ es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (3, 1, 1)$. 2. La recta $r$ es perpendicular a la recta $PQ$. Esto implica que $\vec{d_r}$ es perpendicular al vector $\vec{u} = (1, -1, -2)$. Por tanto, $\vec{d_r}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{n_\pi}$ y a $\vec{u}$. Podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial**: $$\vec{d_r} = \vec{n_\pi} \times \vec{u}$$ 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, su vector director siempre es perpendicular al vector normal del plano ($\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$).

Calculamos el producto vectorial utilizando el determinante por la regla de Sarrus (desarrollando por la primera fila): $$\vec{d_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{d_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \vec{i} (-2 - (-1)) - \vec{j} (-6 - 1) + \vec{k} (-3 - 1)$$ $$\vec{d_r} = \vec{i}(-1) - \vec{j}(-7) + \vec{k}(-4)$$ $$\vec{d_r} = (-1, 7, -4)$$ $$\boxed{\vec{d_r} = (-1, 7, -4)}$$

Ya tenemos el punto $M(1, 0, -1)$ y el vector director $\vec{d_r} = (-1, 7, -4)$. Podemos expresar la recta en su forma paramétrica o continua. **Ecuaciones paramétricas de la recta $r$:** $$\begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 7\lambda \\ z = -1 - 4\lambda \end{cases}$$ O en **forma continua**: $$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{7} = \frac{z + 1}{-4}$$ En la siguiente figura se puede observar la interpretación geométrica del problema: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 7\lambda \\ z = -1 - 4\lambda \end{cases}}$$