Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $\lambda$:** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius indica que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado (SCD). Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es compatible indeterminado (SCI). Si los rangos son distintos, es incompatible (SI).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 4 + \lambda \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot \lambda) - (1 \cdot 1 \cdot \lambda + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot \lambda)$$ $$|A| = (4 + \lambda + 2\lambda) - (\lambda + 2 + 4\lambda)$$ $$|A| = (4 + 3\lambda) - (2 + 5\lambda)$$ $$|A| = 4 + 3\lambda - 2 - 5\lambda = 2 - 2\lambda$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$2 - 2\lambda = 0 \implies 2\lambda = 2 \implies \lambda = 1$$

Analizamos los casos posibles para el rango de la matriz: **Caso 1: $\lambda \neq 1$** Si $\lambda \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es 3. Como el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 3 y el número de incógnitas es 3: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene solución única. **Caso 2: $\lambda = 1$** Si $\lambda = 1$, la matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 1 y la fila 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). Esto implica que el rango de $A$ y de $A^*$ será el mismo y menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_2$ en la matriz ampliada, también se cumple $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \neq 1: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } \lambda = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo para $\lambda = 1$.** Sustituimos $\lambda = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases}$$ Como la primera y segunda ecuación son iguales, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases}$$ Para resolver este sistema compatible indeterminado, tomamos una variable como parámetro. Sea **$z = \alpha$**, donde $\alpha \in \mathbb{R}$. Sustituimos $z$ en las ecuaciones: 1) $x + y = 1 - \alpha$ 2) $x + 2y = 2 - 4\alpha$ Restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 ($E_2 - E_1$): $$(x + 2y) - (x + y) = (2 - 4\alpha) - (1 - \alpha)$$ $$y = 1 - 3\alpha$$ Ahora despejamos $x$ de la primera ecuación: $$x = 1 - \alpha - y = 1 - \alpha - (1 - 3\alpha)$$ $$x = 1 - \alpha - 1 + 3\alpha = 2\alpha$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre necesitamos $3 - 2 = 1$ parámetro para expresar la solución. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2\alpha \\ y = 1 - 3\alpha \\ z = \alpha \end{cases} \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}}$$