Recta tangente y cálculo de área en el primer cuadrante

**a) Calcular la recta tangente a la curva $f(x) = 4e^{x-1}$ en el punto $(1, f(1))$. (1 punto)** Para hallar la ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$, utilizamos la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = 1$. Calculamos primero el valor de la función en dicho punto: $$f(1) = 4e^{1-1} = 4e^0 = 4 \cdot 1 = 4$$ El punto de tangencia es **$(1, 4)$**. Calculamos ahora la función derivada $f'(x)$ aplicando la regla de la cadena para la exponencial: $$f'(x) = 4e^{x-1} \cdot \frac{d}{dx}(x-1) = 4e^{x-1} \cdot 1 = 4e^{x-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. En este caso, la derivada del exponente $(x-1)$ es simplemente $1$.

Obtenemos la pendiente de la recta tangente evaluando la derivada en $x=1$: $$m = f'(1) = 4e^{1-1} = 4e^0 = 4$$ Sustituimos el punto $(1, 4)$ y la pendiente $m=4$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - 4 = 4(x - 1)$$ Operamos para obtener la forma explícita: $$y - 4 = 4x - 4 \implies y = 4x$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 4x}$$

**b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función $g(x) = x^3$ y la recta $y = 4x$. (1,25 puntos)** Para hallar el área entre dos curvas, primero debemos encontrar sus puntos de intersección igualando las funciones: $$g(x) = y \implies x^3 = 4x$$ $$x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x^2 = 4 \implies x = 2$ 3. $x^2 = 4 \implies x = -2$ Como el enunciado especifica que la región está en el **primer cuadrante**, solo consideraremos el intervalo $[0, 2]$. 💡 **Tip:** En el primer cuadrante las coordenadas $x$ e $y$ deben ser no negativas. Por ello, descartamos $x = -2$.

Determinamos qué función está por encima en el intervalo $(0, 2)$. Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x=1$: - $g(1) = 1^3 = 1$ - $y = 4(1) = 4$ Como $4 \gt 1$, la recta $y=4x$ está por encima de la curva $g(x)=x^3$. El área se calcula como: $$A = \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx$$ Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$A = \left[ 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos los límites de integración: $$A = \left( 2(2)^2 - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$A = (2 \cdot 4 - \frac{16}{4}) - 0 = 8 - 4 = 4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 4 \text{ u}^2}$$