Teorema de Bolzano y localización de raíces

**a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente. (1 punto)** El **Teorema de Bolzano** establece lo siguiente: Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos, es decir, $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, entonces existe al menos un punto $c$ perteneciente al intervalo abierto $(a, b)$ tal que: $$f(c) = 0$$ 💡 **Tip:** Las hipótesis fundamentales son dos: la **continuidad** en el intervalo cerrado y el **cambio de signo** en los extremos.

Geométricamente, el teorema indica que si una función es continua (se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel) y pasa de estar por debajo del eje $OX$ a estar por arriba (o viceversa), necesariamente tiene que **cortar al eje de abscisas** en, al menos, un punto entre $a$ y $b$. Ese punto de corte $c$ es la raíz o cero de la función. ✅ **Interpretación:** $$\boxed{\text{Si } f(a) \text{ y } f(b) \text{ están en semiplanos opuestos respecto a } y=0, \text{ la curva cruza el eje } OX.}$$

**b) Encontrar un intervalo en el que $P(x) = x^6 + x^4 - 1$ tenga al menos una raíz. (1,25 puntos)** Consideramos la función polinómica: $$P(x) = x^6 + x^4 - 1$$ Al ser una **función polinómica**, su dominio es $\mathbb{R}$ y es **continua** en cualquier intervalo real que elijamos. Esto nos permite aplicar el Teorema de Bolzano. 💡 **Tip:** Para encontrar el intervalo, solemos probar con valores enteros sencillos ($0, 1, -1, 2...$) hasta encontrar un cambio de signo en el resultado de la función.

Evaluamos la función en algunos puntos cercanos al origen: 1. Para $x = 0$: $$P(0) = 0^6 + 0^4 - 1 = -1 \implies P(0) \lt 0$$ 2. Para $x = 1$: $$P(1) = 1^6 + 1^4 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 \implies P(1) \gt 0$$ Observamos que en el intervalo $[0, 1]$ la función es continua y $P(0)$ es negativo mientras que $P(1)$ es positivo. Como $P(0) \cdot P(1) \lt 0$, según el Teorema de Bolzano, existe al menos un $c \in (0, 1)$ tal que $P(c) = 0$. ✅ **Resultado (intervalo):** $$\boxed{\text{Un intervalo válido es } (0, 1)}$$ *(Nota: También existiría una raíz en $(-1, 0)$ debido a que la función es par, ya que $P(-1) = 1 \gt 0$ y $P(0) = -1 \lt 0$).*