Recta paralela a un plano y perpendicular a otra recta

**E2.- Determinar la recta $r$ que es paralela al plano $\pi \equiv x - y - z = 0$ y que corta perpendicularmente a la recta $s \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{-4}$ en el punto $P(2, -1, -2)$. (2,25 puntos)** Primero, identificamos los elementos característicos de los objetos geométricos dados: 1. **Plano $\pi$**: Su vector normal es $\vec{n_\pi} = (1, -1, -1)$. 2. **Recta $s$**: Su vector director es $\vec{v_s} = (1, 2, -4)$. 3. **Punto $P(2, -1, -2)$**: El enunciado indica que la recta $r$ corta a $s$ en este punto. Comprobamos que $P$ pertenece a $s$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación de $s$: $$\frac{2 - 1}{1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{-2 - 2}{-4} \implies 1 = \frac{2}{2} = \frac{-4}{-4} \implies 1 = 1 = 1$$ Como se cumple la igualdad, el punto $P$ es efectivamente un punto de la recta $s$, y será el punto por el que pase nuestra recta buscada $r$. 💡 **Tip:** Si una recta corta a otra en un punto $P$, ese punto pertenece a ambas rectas. Siempre es buena idea verificar que los datos del enunciado son coherentes.

Para definir la recta $r$, necesitamos su vector director $\vec{v_r}$. El enunciado impone dos condiciones de perpendicularidad sobre este vector: * **$r \parallel \pi$**: Si la recta es paralela al plano, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Es decir, $\vec{v_r} \perp \vec{n_\pi}$. * **$r \perp s$**: Si la recta $r$ corta perpendicularmente a $s$, sus vectores directores deben ser perpendiculares. Es decir, $\vec{v_r} \perp \vec{v_s}$. Dado que $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{n_\pi}$ y a $\vec{v_s}$, podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial** de ambos: $$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} \times \vec{v_s}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a los dos originales a la vez.

Calculamos el vector director realizando el determinante por la regla de Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$\vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \mathbf{i}((-1)(-4) - (-1)(2)) - \mathbf{j}((1)(-4) - (-1)(1)) + \mathbf{k}((1)(2) - (-1)(1))$$ $$\vec{v_r} = \mathbf{i}(4 + 2) - \mathbf{j}(-4 + 1) + \mathbf{k}(2 + 1)$$ $$\vec{v_r} = 6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (6, 3, 3)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo entre $3$ para trabajar con números más sencillos: $$\vec{v_r} = (2, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** En una recta, lo que importa es la dirección, por lo que puedes multiplicar o dividir el vector director por cualquier número distinto de cero.

Ya tenemos el punto $P(2, -1, -2)$ y el vector director $\vec{v_r} = (2, 1, 1)$. Expresamos la recta $r$ en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - (-2)}{1}$$ Simplificando: $$\boxed{r \equiv \frac{x - 2}{2} = y + 1 = z + 2}$$ Alternativamente, en paramétricas sería: $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$