Inversa de una matriz y resolución de ecuaciones matriciales

**a) Estudiar si $A$ y $B$ tienen inversa y calcularla cuando sea posible. (1 punto)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Comenzamos calculando el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (-4 \cdot -1) = 3 - 4 = -1.$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ tiene inversa** ($A^{-1}$). 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es regular (invertible) si $|M| \neq 0$ y es singular (no invertible) si $|M| = 0$.

Para calcular $A^{-1}$ utilizamos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$$ 1. Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$: - $A_{11} = 3$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = -(-4) = 4$ - $A_{22} = 1$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$. 2. Hallamos su traspuesta: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Multiplicamos por $\frac{1}{|A|} = \frac{1}{-1} = -1$: $$A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Inversa de A):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de la matriz $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (-1 \cdot -1) = 1 - 1 = 0.$$ Como $|B| = 0$, concluimos que la matriz **$B$ no tiene inversa**. ✅ **Resultado (Inversa de B):** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ no tiene inversa.}}$$

**b) Determinar $X$ tal que $AX = 2B + I$ siendo $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. (1,25 puntos)** Para despejar $X$ en la ecuación $AX = 2B + I$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros (podemos hacerlo porque hemos comprobado en el apartado anterior que $A$ es invertible): $$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot (2B + I)$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot (2B + I)$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot (2B + I)$$ $$X = A^{-1} \cdot (2B + I)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Primero calculamos la matriz resultante del paréntesis $(2B + I)$: $$2B + I = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$ multiplicando $A^{-1}$ por el resultado anterior: $$X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-3 \cdot 3) + (-4 \cdot -2) & (-3 \cdot -2) + (-4 \cdot 3) \\ (-1 \cdot 3) + (-1 \cdot -2) & (-1 \cdot -2) + (-1 \cdot 3) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -9 + 8 & 6 - 12 \\ -3 + 2 & 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$