Cálculo de límites mediante L'Hôpital e integración por partes

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \operatorname{sen} x}{x^2}$. (1,25 puntos)** Primero evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para identificar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = \frac{0 \cdot e^0 - \operatorname{sen}(0)}{0^2} = \frac{0-0}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ y las funciones son derivables en un entorno de $0$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si se cumplen las condiciones de continuidad y derivabilidad. Derivamos el numerador: - $(xe^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$ - $(\operatorname{sen} x)' = \cos x$ Derivamos el denominador: - $(x^2)' = 2x$

Escribimos el nuevo límite tras la primera derivada: $$\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + xe^x - \cos x}{2x}$$ Sustituimos de nuevo $x=0$: $$\frac{e^0 + 0 \cdot e^0 - \cos(0)}{2(0)} = \frac{1 + 0 - 1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Obtenemos de nuevo la indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez. Derivamos el numerador: - $(e^x + xe^x - \cos x)' = e^x + (e^x + xe^x) - (-\operatorname{sen} x) = 2e^x + xe^x + \operatorname{sen} x$ Derivamos el denominador: - $(2x)' = 2$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^x + xe^x + \operatorname{sen} x}{2} = \frac{2e^0 + 0 \cdot e^0 + \operatorname{sen}(0)}{2} = \frac{2 + 0 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = 1}$$

**b) Calcular $\int \ln(x) dx$. (1 punto)** Esta es una integral clásica que se resuelve mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común es "Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme". Elegimos las funciones para aplicar el método (siguiendo la regla ALPES, donde las logarítmicas tienen prioridad para ser $u$): - Sea $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - Sea $dv = dx \implies v = x$ Sustituimos en la fórmula: $$\int \ln(x) dx = \ln(x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$$ $$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int 1 dx$$ $$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C$$ Podemos simplificar sacando factor común $x$: $$\int \ln(x) dx = x(\ln(x) - 1) + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C}$$