Estudio completo y representación de una función racional

**E3.- Consideremos la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+2}$. Calcular el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. Esbozar su gráfica.** El dominio de una función racional es todo $\mathbb{R}$ excepto los valores que anulan el denominador. Para hallar esos valores, resolvemos: $$x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$$ Como un número al cuadrado no puede ser negativo en el conjunto de los números reales, la ecuación no tiene solución. Por lo tanto, el denominador nunca se anula. 💡 **Tip:** Si el denominador es de la forma $x^2 + k$ con $k > 0$, la función estará definida en toda la recta real. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)}$$

Analizamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas: 1. **Asíntotas Verticales (AV):** No existen, ya que no hay valores de $x$ que anulen el denominador (el dominio es $\mathbb{R}$). 2. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2+2} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 1$**. 3. **Asíntotas Oblicuas (AO):** No existen, ya que al haber una asíntota horizontal en ambos lados, la función no puede tener oblicuas. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: No hay} \quad \text{AH: } y=1 \quad \text{AO: No hay}}$$

Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos, necesitamos calcular la derivada de $f(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2+1)'(x^2+2) - (x^2+1)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2}$$ Calculamos las derivadas simples: - $(x^2+1)' = 2x$ - $(x^2+2)' = 2x$ Sustituimos: $$f'(x) = \frac{2x(x^2+2) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 + 4x - (2x^3 + 2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3 + 4x - 2x^3 - 2x}{(x^2+2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{2x}{(x^2+2)^2} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico. Como el denominador $(x^2+2)^2$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $2x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline \text{Comportamiento} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, luego la función es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) > 0$, luego la función es **creciente**. Como la función pasa de decrecer a crecer en $x=0$, hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(0) = \frac{0^2+1}{0^2+2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (0, +\infty) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, 0) \quad \text{Mínimo: } (0, 0.5)}$$

Para esbozar la gráfica, unimos toda la información obtenida: 1. La función es continua en todo $\mathbb{R}$. 2. Tiene una asíntota horizontal $y=1$ (se acerca a ella por debajo en ambos infinitos, ya que $\frac{x^2+1}{x^2+2} < 1$ siempre). 3. Tiene un mínimo relativo en el punto $(0, 0.5)$, que además es el punto de corte con el eje $Y$. 4. No tiene puntos de corte con el eje $X$ (pues $x^2+1=0$ no tiene solución real).