Geometría en el espacio: Rectas y planos

**a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(2, 3, 4)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + 2z + 4 = 0$. (1,25 puntos)** Para que una recta sea perpendicular a un plano, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe tener la misma dirección que el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. Dada la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n}_\pi = (A, B, C)$. En nuestro caso: $$\pi \equiv 1x + 1y + 2z + 4 = 0 \implies \vec{n}_\pi = (1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano es siempre el formado por los coeficientes de $x, y, z$ en su ecuación implícita.

Como la recta $r$ debe ser perpendicular al plano $\pi$, tomamos el vector normal del plano como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, 1, 2)$$ Además, sabemos que la recta pasa por el punto $P(2, 3, 4)$. Podemos expresar la recta en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo el punto $P$ y el vector $\vec{v}_r$: $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{2}$$ O de forma más simplificada en paramétricas: $$\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 4 + 2\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv x - 2 = y - 3 = \frac{z - 4}{2}}$$

**b) Calcular $a$ para que las rectas $r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 2}{2}, s \equiv \frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{3}$ sean perpendiculares. (1 punto)** Primero, identificamos los vectores directores de ambas rectas a partir de sus ecuaciones en forma continua: - Para la recta $r$: Los denominadores son $1, 1$ y $2$. $$\vec{v}_r = (1, 1, 2)$$ - Para la recta $s$: Los denominadores son $a, 2$ y $3$. $$\vec{v}_s = (a, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$ siempre que los coeficientes de $x, y, z$ en el numerador sean 1.

Para que dos rectas sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = 0$$ Calculamos el producto escalar componente a componente: $$(1, 1, 2) \cdot (a, 2, 3) = 1 \cdot a + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3$$ Igualamos a cero para resolver la ecuación: $$a + 2 + 6 = 0$$ $$a + 8 = 0$$ $$a = -8$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$ es $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -8}$$