Discusión y resolución de un sistema de dos ecuaciones con parámetros

**a) Discutir según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$. (1,25 puntos)** Para discutir el sistema según el parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos las matrices del sistema: Matriz de los coeficientes ($A$): $$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Matriz ampliada ($A'$): $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A')$. Si este rango es igual al número de incógnitas, es determinado (SCD); si es menor, es indeterminado (SCI).

Analizamos el rango de $A$. Puesto que es una matriz de dimensiones $2 \times 3$, el rango máximo posible es $2$. Buscamos menores de orden 2. Observamos el menor formado por la segunda y tercera columna: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 distinto de cero que no depende de $m$, podemos afirmar que el rango de la matriz $A$ es **siempre 2**, independientemente del valor que tome el parámetro $m$. $$\text{rang}(A) = 2, \quad \forall m \in \mathbb{R}$$

Ahora analizamos el rango de la matriz ampliada $A'$. Puesto que $A'$ tiene solo 2 filas y ya hemos encontrado un menor de orden 2 no nulo dentro de ella (el mismo que en $A$), el rango de $A'$ también es obligatoriamente 2 para cualquier valor de $m$. Comparando los rangos con el número de incógnitas ($n = 3$): 1. $\text{rang}(A) = 2$ 2. $\text{rang}(A') = 2$ 3. $n = 3$ Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A') = 2 \lt 3$, aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius. ✅ **Conclusión (Discusión):** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Indeterminado (SCI) para cualquier valor de } m \in \mathbb{R}}$$

**b) Resolverlo para $m = 1$. (1 punto)** Sustituimos $m = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$$ Como el sistema es Compatible Indeterminado con rango 2, necesitamos un parámetro para resolverlo. Tomamos las dos ecuaciones y restamos la primera a la segunda para eliminar $x$ e $y$ rápidamente: $$(x + y + 2z) - (x + y + z) = 1 - 1 \implies z = 0$$ Ahora, sustituimos $z = 0$ en cualquiera de las ecuaciones: $$x + y + 0 = 1 \implies y = 1 - x$$ Para expresar la solución general, asignamos un parámetro a $x$ (por ejemplo, $x = \lambda$): $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre habrá $3 - 2 = 1$ grado de libertad (un parámetro). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \lambda, \quad y = 1 - \lambda, \quad z = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R})}$$