Límite con L'Hôpital y área entre dos parábolas

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{(x^2)}}{x}$. (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{(x^2)}}{x} = \frac{e^0 - e^{0^2}}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador de forma independiente.

Derivamos el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}(e^x - e^{x^2}) = e^x - 2x e^{x^2}$ (aplicando la regla de la cadena en el segundo término). - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}(x) = 1$. Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 2x e^{x^2}}{1}$$ Sustituimos de nuevo $x=0$: $$\frac{e^0 - 2(0) e^{0^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = 1.$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{1}$$

**b) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2, g(x) = x^2 - 2$. (1,25 puntos)** Para hallar el área, primero necesitamos determinar los puntos de intersección de las dos curvas igualando sus expresiones: $$f(x) = g(x) \implies -x^2 = x^2 - 2$$ Agrupamos los términos: $$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Los límites de integración para calcular el área serán $x = -1$ y $x = 1$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen el intervalo en el que una función está por encima de la otra, lo cual es fundamental para el planteamiento de la integral definida.

Debemos determinar cuál de las dos funciones es mayor en el intervalo $(-1, 1)$. Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x=0$: - $f(0) = -(0)^2 = 0$ - $g(0) = 0^2 - 2 = -2$ Como $f(0) > g(0)$, la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$ en todo el intervalo. El área $A$ se calcula como la integral definida de la diferencia entre la función superior y la inferior: $$A = \int_{-1}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-1}^{1} [-x^2 - (x^2 - 2)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) \, dx$$

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-2x^2 + 2) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[-1, 1]$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x \right]_{-1}^{1}$$ $$A = \left( -\frac{2(1)^3}{3} + 2(1) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$$ $$A = \left( -\frac{2}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right) = \frac{4}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser positiva. Si obtienes un valor negativo, revisa cuál es la función superior o usa el valor absoluto. ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{\frac{8}{3} \text{ unidades cuadradas}}$$