Derivabilidad de una función a trozos y cálculo de parámetros

**a) Dada la función $f(x) = \begin{cases} x, & \text{si } x \lt 0 \\ x^2 + ax, & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcular $a$ para que $f$ sea derivable en $x = 0$. (1 punto)** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Estudiamos la continuidad de $f(x)$ en $x = 0$ analizando los límites laterales y el valor de la función: 1. Valor de la función: $f(0) = 0^2 + a(0) = 0$. 2. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} x = 0$. 3. Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} (x^2 + ax) = 0^2 + a(0) = 0$. Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, la función es **continua en $x = 0$ para cualquier valor de $a$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad. Si una función no es continua en un punto, automáticamente no es derivable en él.

Una vez garantizada la continuidad, calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \lt 0 \\ 2x + a, & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para que $f$ sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben coincidir: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (2x + a) = 2(0) + a = a$. Igualamos ambas expresiones: $$f'(0^-) = f'(0^+) \implies 1 = a$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Hallar $a, b$ y $c$ para que la función $f(x) = ax^2 + b \operatorname{sen} x + c$ verifique $f(0) = 0, f'(0) = 1$ y $f''(0) = 2$. (1,25 puntos)** Comenzamos aplicando la primera condición dada: $f(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = a(0)^2 + b \operatorname{sen}(0) + c = 0$$ $$0 + b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con funciones trigonométricas, recuerda que $\operatorname{sen}(0) = 0$ y $\cos(0) = 1$.

Para aplicar la segunda condición, primero calculamos la derivada general $f'(x)$: $$f(x) = ax^2 + b \operatorname{sen} x + c$$ $$f'(x) = 2ax + b \cos x$$ Ahora imponemos que $f'(0) = 1$: $$f'(0) = 2a(0) + b \cos(0) = 1$$ $$0 + b(1) = 1 \implies b = 1$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\operatorname{sen} x$ es $\cos x$ y la de $x^n$ es $nx^{n-1}$.

Calculamos la segunda derivada, $f''(x)$, derivando la expresión de $f'(x)$ obtenida anteriormente: $$f'(x) = 2ax + b \cos x$$ $$f''(x) = 2a - b \operatorname{sen} x$$ Imponemos la condición $f''(0) = 2$: $$f''(0) = 2a - b \operatorname{sen}(0) = 2$$ Como ya sabemos que $\operatorname{sen}(0) = 0$: $$2a - b(0) = 2 \implies 2a = 2 \implies a = 1$$ Resumiendo los valores obtenidos: ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1, \quad c = 0}$$