Plano determinado por tres puntos y pertenencia de un punto

**a) Consideremos los puntos $P(-1, -4, 0), Q(0, 1, 3), R(1, 0, 3)$. Hallar el plano $\pi$ que contiene a los puntos $P, Q, R$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$ necesitamos un punto perteneciente al mismo (usaremos el punto $P$) y dos vectores directores que no sean paralelos entre sí. Estos vectores se obtienen uniendo los puntos dados: 1. **Vector $\vec{u} = \vec{PQ}$:** $$\vec{PQ} = Q - P = (0 - (-1), 1 - (-4), 3 - 0) = (1, 5, 3)$$ 2. **Vector $\vec{v} = \vec{PR}$:** $$\vec{PR} = R - P = (1 - (-1), 0 - (-4), 3 - 0) = (2, 4, 3)$$ Comprobamos que no son proporcionales: $\frac{1}{2} \neq \frac{5}{4} \neq \frac{3}{3}$, por lo que definen un plano. 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por tres puntos no alineados. El punto genérico $X(x,y,z)$ del plano cumple que el vector $\vec{PX}$ es combinación lineal de $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$.

La ecuación del plano se obtiene al anular el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos obtenidos anteriormente: $$\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0 \implies \begin{vmatrix} x - (-1) & y - (-4) & z - 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x + 1 & y + 4 & z \\ 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante utilizando la regla de Sarrus: $$\text{Diag. princ.}: (x+1) \cdot 5 \cdot 3 + (y+4) \cdot 3 \cdot 2 + z \cdot 1 \cdot 4 = 15(x+1) + 6(y+4) + 4z$$ $$\text{Diag. secun.}: z \cdot 5 \cdot 2 + (x+1) \cdot 3 \cdot 4 + (y+4) \cdot 1 \cdot 3 = 10z + 12(x+1) + 3(y+4)$$ Restamos ambos resultados: $$[15(x+1) + 6(y+4) + 4z] - [10z + 12(x+1) + 3(y+4)] = 0$$ $$3(x+1) + 3(y+4) - 6z = 0$$ Operamos los paréntesis: $$3x + 3 + 3y + 12 - 6z = 0 \implies 3x + 3y - 6z + 15 = 0$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación entre $3$: $$\boxed{\pi \equiv x + y - 2z + 5 = 0}$$

**b) Calcular $a$ para que el punto $S(3, a, 2)$, pertenezca al plano $\pi \equiv x + y - 2z + 5 = 0$.** Para que un punto $S(x_0, y_0, z_0)$ pertenezca a un plano, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación general del mismo. Sustituimos las coordenadas de $S(3, a, 2)$ en la ecuación del plano $\pi$: $$3 + a - 2(2) + 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si un punto pertenece a una superficie (plano, recta, etc.), al sustituir sus coordenadas en la ecuación, se debe cumplir la igualdad.

Operamos los términos numéricos de la ecuación anterior: $$3 + a - 4 + 5 = 0$$ $$a + 4 = 0$$ Despejamos el valor de $a$: $$a = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -4}$$