Invertibilidad y operaciones con matrices

**a) Sea $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{pmatrix}$. Estudiar, en función del parámetro $a$, cuando $M$ posee inversa.** Para que una matriz cuadrada posea inversa, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{vmatrix} = (1 \cdot a) - (2 \cdot 3) = a - 6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo, y es singular (no tiene inversa) si su determinante es igual a cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor crítico del parámetro: $$a - 6 = 0 \implies a = 6$$ Analizamos los casos según el valor de $a$: 1. **Si $a \neq 6$**: El determinante $|M| \neq 0$, por lo tanto, la matriz **$M$ posee inversa**. 2. **Si $a = 6$**: El determinante $|M| = 0$, por lo tanto, la matriz **$M$ no posee inversa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } M \text{ tiene inversa cuando } a \neq 6}$$

**b) Siendo $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$, calcular $A^2$ y $A^{-1}$.** Calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma ($A \cdot A$): $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de filas por columnas: - Fila 1 $\times$ Columna 1: $1(1) + 2(3) = 1 + 6 = 7$ - Fila 1 $\times$ Columna 2: $1(2) + 2(7) = 2 + 14 = 16$ - Fila 2 $\times$ Columna 1: $3(1) + 7(3) = 3 + 21 = 24$ - Fila 2 $\times$ Columna 2: $3(2) + 7(7) = 6 + 49 = 55$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 16 \\ 24 & 55 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado, $A^2$ no consiste en elevar al cuadrado cada elemento de la matriz, sino en realizar el producto matricial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 16 \\ 24 & 55 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^t$. 1. **Determinante de $A$**: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (1)(7) - (2)(3) = 7 - 6 = 1$$ 2. **Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$**: - $A_{11} = +7$ - $A_{12} = -3$ - $A_{21} = -2$ - $A_{22} = +1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. **Traspuesta de la adjunta $[\text{Adj}(A)]^t$**: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. **Matriz inversa**: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}$$