Geometría analítica: Planos, rectas, áreas y ortogonalidad

**1) [1 PUNTO] Calcule la ecuación implícita (general) del plano que pasa por $A, B$ y $C$.** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean proporcionales. Utilizaremos el punto $A(-2, 1, 0)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-2), 1 - 1, 1 - 0) = (3, 0, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2 - (-2), 0 - 1, 2 - 0) = (4, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** Un vector entre dos puntos $P$ y $Q$ se calcula siempre como el punto final menos el punto inicial: $\vec{PQ} = Q - P$.

La ecuación implícita del plano $\pi$ se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\det \begin{pmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = 0$$ Sustituimos los valores de $A(-2, 1, 0)$, $\vec{AB}=(3, 0, 1)$ y $\vec{AC}=(4, -1, 2)$: $$\begin{vmatrix} x + 2 & y - 1 & z \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila (o por Sarrus): $$(x + 2) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (y - 1) \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x + 2)(0 - (-1)) - (y - 1)(6 - 4) + z(-3 - 0) = 0$$ $$(x + 2)(1) - (y - 1)(2) + z(-3) = 0$$ $$x + 2 - 2y + 2 - 3z = 0$$ Agrupando términos obtenemos la ecuación general: $$\boxed{x - 2y - 3z + 4 = 0}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule la ecuación continua de la recta $\overline{BC}$.** Para hallar la recta que pasa por $B$ y $C$, necesitamos un punto de la recta (usaremos $B(1, 1, 1)$) y un vector director $\vec{v_r} = \vec{BC}$. Calculamos el vector director: $$\vec{BC} = C - B = (2 - 1, 0 - 1, 2 - 1) = (1, -1, 1)$$ La ecuación continua de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector director $(v_1, v_2, v_3)$ es: $$\frac{x - x_0}{v_1} = rac{y - y_0}{v_2} = rac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituimos los datos de $B$ y $\vec{BC}$: $$\boxed{\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{1}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua los denominadores no pueden ser cero. Si alguna componente del vector fuera cero, esa parte de la recta se expresaría por separado.

**3) [1 PUNTO] Calcule el área del triangulo definido por $ABC$.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $C$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Ya conocemos de los apartados anteriores que $\vec{AB} = (3, 0, 1)$ y $\vec{AC} = (4, -1, 2)$. Calculamos su producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o menores: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(1) - \vec{j}(6 - 4) + \vec{k}(-3) = (1, -2, -3)$$ 💡 **Tip:** Fíjate que el vector resultante del producto vectorial coincide con los coeficientes del plano calculado en el apartado 1, ya que dicho vector es normal al plano.

Calculamos ahora el módulo del vector resultante $|(1, -2, -3)|$: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ Por tanto, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1.87 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} u^2}$$

**4) [0,25 PUNTOS] Determine, usando el producto escalar, si los vectores $\vec{u} = (3, 0, 1)$ y $\vec{v} = (4, -1, 2)$ son ortogonales.** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales (perpendiculares) si y solo si su producto escalar es igual a cero: $$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$ Calculamos el producto escalar de $\vec{u} = (3, 0, 1)$ y $\vec{v} = (4, -1, 2)$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (3 \cdot 4) + (0 \cdot (-1)) + (1 \cdot 2)$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 12 + 0 + 2 = 14$$ Como el resultado es $14 \neq 0$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los vectores no son ortogonales}}$$