Estudio de función a trozos: Monotonía, extremos y continuidad

**1) [2 PUNTOS] Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $g$ en $\mathbb{R} - \{0\}$ y determine los máximos y mínimos relativos.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada de la función $g(x)$ en cada uno de sus intervalos abiertos. Para $x \lt 0$: $$g(x) = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \implies g'(x) = -\frac{1}{x^2}$$ Para $x \gt 0$: $$g(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 3 \implies g'(x) = 6x^2 - 30x + 36$$ La función derivada es: $$g'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x^2} & \text{si } x \lt 0 \\ 6x^2 - 30x + 36 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, aunque en este caso es más rápido separar la fracción como $1 + x^{-1}$.

Buscamos los puntos donde $g'(x) = 0$ para hallar los posibles extremos relativos: - En la rama $x \lt 0$: $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Esta expresión nunca es cero y siempre es negativa (ya que $x^2 \gt 0$). - En la rama $x \gt 0$: $6x^2 - 30x + 36 = 0$. Dividimos entre $6$ para simplificar: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$ Estudiamos el signo de $g'(x)$ en los intervalos definidos por $x=0$ (salto de rama), $x=2$ y $x=3$: $$\begin{array}{c|cccc} x & (-\infty, 0) & (0, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline g'(x) & - & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline g(x) & \searrow & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Intervalos de **crecimiento**: $(0, 2) \cup (3, +\infty)$ Intervalos de **decrecimiento**: $(-\infty, 0) \cup (2, 3)$

Calculamos las ordenadas de los puntos críticos encontrados en la rama $x \ge 0$: - Para **$x = 2$**: $g(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + 3 = 16 - 60 + 72 + 3 = 31$ - Para **$x = 3$**: $g(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + 3 = 54 - 135 + 108 + 3 = 30$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (0, 2) \cup (3, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (-\infty, 0) \cup (2, 3) \\ &\text{Máximo relativo: } (2, 31) \\ &\text{Mínimo relativo: } (3, 30) \end{aligned}}$$

**2) [0,5 PUNTOS] Determine si la función es continua en $x = 0$.** Para que $g(x)$ sea continua en $x=0$, deben existir y coincidir los límites laterales con el valor de la función: $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$. 1. Valor de la función: $g(0) = 2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0) + 3 = 3$. 2. Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} (2x^3 - 15x^2 + 36x + 3) = 3.$$ 3. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty.$$ Como el límite por la izquierda no es finito, existe una **discontinuidad de salto infinito** (asíntota vertical por la izquierda). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función NO es continua en } x = 0}$$

**3) [1 PUNTO] Haga un esbozo del gráfico de la función en un entorno de $x = 0$.** Para el esbozo, tenemos en cuenta: - A la izquierda de $x=0$, la función tiende a $-\infty$, comportándose como una hipérbola con asíntota horizontal en $y=1$. - En $x=0$, la función toma el valor $y=3$ (punto cerrado). - A la derecha de $x=0$, la función empieza creciendo con pendiente positiva ($g'(0^+) = 36$). Observemos la representación gráfica en el siguiente interactivo: