Discusión y resolución de un sistema matricial con parámetro

**1) [1 PUNTO] Determine los valores de $a$ para que el sistema sea compatible.** Para estudiar la compatibilidad del sistema, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 3a & 2a & 2a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & a & 2 \\ 3a & 2a & 2a & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 3a & 2a & 2a \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 2a) + (1\cdot a\cdot 3a) + (1\cdot 1\cdot 2a) - (3a\cdot 1\cdot 1) - (2a\cdot a\cdot 1) - (2a\cdot 1\cdot 1)$$ $$|A| = 2a + 3a^2 + 2a - 3a - 2a^2 - 2a = a^2 - a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - a = 0 \implies a(a - 1) = 0 \implies a = 0, \, a = 1.$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica cuándo el sistema tiene solución única (si $|A| \neq 0$).

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para analizar los rangos: * **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango máximo es 3, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. * **Caso 2: $a = 0$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Vemos que la última fila indica $0x + 0y + 0z = 1$, lo cual es imposible. Formalmente, $\text{rg}(A) = 2$ (pues el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$) y $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible**. * **Caso 3: $a = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Las dos primeras filas son iguales, por lo que el determinante de cualquier menor de orden 3 que las incluya será 0. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ indica que $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$. Como el rango es menor que el número de incógnitas (3), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es compatible para } a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**2) [2,25 PUNTOS] Calcule todas las soluciones en el caso en el que sea compatible indeterminado y en el caso $a=3$.** **Caso $a = 1$ (Compatible Indeterminado):** El sistema reducido (eliminando la fila redundante) es: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = 1 \end{cases}$$ Parametrizamos una variable, por ejemplo, $z = \lambda$: $$\begin{cases} x + y = 2 - \lambda \\ 3x + 2y = 1 - 2\lambda \end{cases}$$ De la primera ecuación, $y = 2 - \lambda - x$. Sustituimos en la segunda: $$3x + 2(2 - \lambda - x) = 1 - 2\lambda \implies 3x + 4 - 2\lambda - 2x = 1 - 2\lambda$$ $$x + 4 = 1 \implies x = -3$$ Calculamos $y$: $$y = 2 - \lambda - (-3) = 5 - \lambda$$ ✅ **Resultado ($a=1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (-3, 5 - \lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**Caso $a = 3$ (Sistema Compatible Determinado):** El sistema es: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 9 & 6 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Escribimos las ecuaciones: 1) $x + y + z = 2$ 2) $x + y + 3z = 2$ 3) $9x + 6y + 6z = 1$ Restamos la ecuación 2) menos la 1): $$(x + y + 3z) - (x + y + z) = 2 - 2 \implies 2z = 0 \implies z = 0$$ Sustituimos $z = 0$ en 1) y 3): $$\begin{cases} x + y = 2 \implies y = 2 - x \\ 9x + 6y = 1 \end{cases}$$ Sustituimos $y$ en la ecuación de abajo: $$9x + 6(2 - x) = 1 \implies 9x + 12 - 6x = 1 \implies 3x = -11 \implies x = -\frac{11}{3}$$ Calculamos $y$: $$y = 2 - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{6}{3} + \frac{11}{3} = \frac{17}{3}$$ ✅ **Resultado ($a=3$):** $$\boxed{x = -\frac{11}{3}, \, y = \frac{17}{3}, \, z = 0}$$